二項展開(1)
二項級数に対応する式
割り算により級数から連分数への変換を行う。
これを続けると次の展開になる(参照[4])。より厳密には超幾何関数の連分数展開で F(-y,β;β;-x)=(1+x)y の場合を考えればよいが省略する。
参考:次式において y→0 のとき
また次式において n→∞ のとき
これが指数関数とその逆関数である対数関数の連分数展開が似た形式になる理由である。
(オイラー)
分子の係数は3の倍数がなく、分母の係数は奇数の3倍数と2である。
一般にxのn乗根は
分母の値は一つおきに 1n,3n,5n,7n,… と増加する。分子の2個一組が同様の比率で増加するのはn=2の場合である。平方根が連分数で単純な形になるのはこのためであり、特殊なケースである。
