連分数と展開方法

連分数の種類

ここでいう連分数は通常扱われる正則連分数などよりも広義のものである。整数以外に実数や関数を分母や分子に含むこともある。とにかく分数が連なるものを扱っている。またある部分分数がゼロによる割り算のために定義されない連分数も扱い、定義される部分での値を求めている。

展開方法

今回は数値そのものを連分数展開するのではなく、関数の連分数展開を行い、最後に関数に値を代入して数値(実数)の展開式を得ている。またある数値に等しい級数や乗積そのものを展開している。その理由は、展開する時にある程度自分の意志で規則性を与える事ができ、創造性を発揮しやすいからである。更にある実数を特定の実数で展開する(例えば黄金比を円周率で展開する)といった、目的を持った展開が可能になるからである。

関数の連分数展開で採用した方法を整理する。全部に対しては展開方法を説明していないため、ここでまとめて説明する。

1. 各項を合体/分解させる式を作る。それにより級数や乗積を連分数に展開する一般式を作る。

2. 次のいずれかの方法で関数を連分数に展開する。
     (1)関数のべき級数展開や部分分数展開や乗積展開を1.の式により連分数に展開する。
     (2)割り算の連続により連分数に展開する。
     (3)自己相似形を利用できるものは方程式を解いて連分数が何の関数であるかを求める。

3. 関連する他の関数の連分数展開を得る。
(1)関数間の変換式等を利用して関連する関数の連分数展開を得る。
(2)2.ではなるべく汎用性の高い関数(例えばx^y)を展開し、ここで特殊なケースの展開を得る。

4. 連分数の各項を合体/分解したり係数を移動させたりして新たな展開式を得る。
新たな展開式が得られた場合はその後3.に戻り、更に他の関数の連分数展開を得る。

ある時点で新たな展開が得られると連鎖式に多数の関数の展開が得られることが多い。

収束範囲

展開式の後に収束範囲を示していることもあるが、これは数値計算による確認の過程で得られたものであり、厳密ではない。範囲の境界値も収束が予想できるものも多いが、不等号で示している。またゼロによる割り算等の自明の除外範囲も省略している。

正の項をもつ連分数に関しては次の判別基準があり、一部で使用している。

以下の参考文献：一松信,「特殊関数入門」, 森北出版, 1999

判別基準1
連分数が収束するのと、級数が発散するのとは同値である。

判別基準2
級数が発散するならば連分数は収束する。

プログラム

連分数の値を求めるプログラムの例を示す。ここではUBASICを使用しているが、一行程度と短いので他の言語でも同様である。後から前に向けて計算する方法が簡単である。

分母や分子が一定値の場合はある回数の計算をすれば良い。

φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+…)…)

a=0:for k=1 to 10^4:a=1/(1+a):next:?1+a

1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622…

一般的には大きな数から小さな数に向けて計算する。

π=4/(1+1²/(3+2²/(5+3²/(7+…)…)

a=0:for k=10^4 to 1 step -1:a=k^2/(2*k+1+a):next:?4/(1+a)

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592…

'-'のある場合の例。

e=3-1/(4-2/(5-3/(6-…)…)

a=0:for k=10^4 to 1 step -1:a=k/(k+3-a):next:?3-a

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627…

複数項をまとめて計算する場合の例。

π=2/(1-1/(1+1/(1-2/(1+2/(1-3/(1+3/(1-…)…)

a=0:for k=10^4 to 1 step -1:a=k/(1+k/(1-a)):next:?2/(1-a)

3.141435593589908192482686816843456078293307497355133707071188307…

リンク集

[1] 関数の展開結果が各関数の'Continued fraction representations' 部分にある。

[2] 円周率等の級数展開集がある。

[3] "May a function be expanded as a continued fraction?"のQ/A。関数展開の情報がある。

[5] ウォリスの積、ブラウンカーの公式等円周率の歴史の説明がある。

[6] 連分数の歴史の説明がある。　** 掲載終了のためリンクを解除 2023.07 **

[7] Ramanujan and Extensions and Contractions of Continued Fractions

James Mc Laughlin と Nancy J. Wyshinski による2004/02/27 付けのこの論文は、当サイトで扱っている連分数の形式や数式に近いものが多数あり、参考になる。 (2004/03/06 追加)

目次次