連分数の演算
先ず基本的な演算法則を整理する。
これらの演算法則を使用すると、通常の分数形式で扱うよりもはるかに効率的である。
Ｓ倍する、Ｓを取り除く
Ｓを移動する(上下)
Ｓを移動する(上下・連続)
Ｓを移動する(左右)
Ｓを拡大、縮小する
Ｓをずらす(左右)
上 → 左側
下 → 両側
上下
→ 右側
次に2項を1項に合体する式を導く。αは連分数であってもよい。
従って2項を1項に合体する次の重要な式を得る。
D=1 の場合は
連続した形では
合体する2項の横棒をつなげ、分子を斜め左下の位置に複写した形式になる。
慣れれば式を逆に使って、1項を2項に分解することができるようになる。
分母が 0,1,0 の3項を2項に合体させれば
D=0 の場合は
応用例として、先頭を加減算に変換する式を考える。先頭の2項を合体させれば、次の式が成り立つことがわかる。
以上の式を使用すれば、次の式を導くことができる。
(d≠-1)
(d≠ 1)
上記式は途中に1/1を挿入し、それと左の項を再度合体させている。
またb=0,f=0の場合
(d≠-1)
(d≠ 1)
d=1の場合は c/1 と e/0 を2倍して 2c/2 と 2e/0 にすることにより、上の式が使える。
もう少し一般的な次の式が成り立つ。
n=meのとき
m=1 とすれば
m=-2 とすれば
これらを変形して
分子のcとeの順序を交換する式。
項数を増加して項間の'-' を'+' にする式。
具体的な応用例として、有名な円周率の連分数の変形を行い、先頭の5項を2項にまとめる。
同様な変形を後ろの項に対しても行っていけば、次のように項数を減らすことができる。
途中経過の式は
従って
最後の式の4項までを計算すると、次の値になる。
355/(113+1/(103993+11*3*355/(52+1/499))) = 245850922/78256779 = 3.14159265358979316…