数値展開例(1)
実際の展開結果の中から、単純で規則正しい連分数や、興味深い連分数を集めた。数値展開といっても実数を展開したのではなく、数値と等しい級数や乗積を展開したり、関数の展開結果に特定の値を代入して得たものである。既知の展開と同一結果になるものもあるが、新しい展開も多いと思われる。
最も単純なものと言われている有名な連分数は黄金比(黄金数)φである。
「最も単純な連分数」
無限連分数で有理数になる例。無理数になる連分数は、より条件の制限された連分数である。
「最も単純な有理数になる無限連分数」
左辺まで含めた式全体で見ると、黄金比よりも単純であるのが次の連分数だ。
「最も単純な連分数式」
比率の代表である黄金比φと白銀比(シルバー比)√2は似た形に展開できる。
更に酷似した次の連分数は'-'と'+'が交互に出現するが、√2は3回に1回は'+'のままである。両者共に自己相似を利用した方程式を解くことにより確認できる。
また e と π は自然数を使用して次のように展開できる。
円と共通な性質があるレムニスケートにおいて、円周率に相当する定数ωの展開は
π = 2∫01 1/√(1-x2)dx = 3.141592…
ω = 2∫01 1/√(1-x4)dx = 2.622057…
これらの5式は重要な定数が単純な規則で構成されている例である。
√3 も'-+'が3回と'+'が3回の繰り返しで次のように展開できる。√2 は'-+'が2回と'+'が2回の繰り返しであった。'-'を許せば全て1を使って展開できるのは黄金比だけの特権ではなくなる。
通常は分子が常に1である(正則)連分数を考える事が多く、 [a;b,c,d,…] と書く。
その逆の分母が常に1である連分数を {a;b,c,d,…} と書くことにする。
|
φ √2 √3 |
= { 0; 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1,…} = { 0; 1,-1, 1,-1, 1,+1, 1,-1, 1,-1,…} = { 0; 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,+1, 1,+1,…} |
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e |
= { 1; 1,-1, 1,-1, 2,-1, 3,-1, 4,-1,…} |
|
π ω |
= { 0; 2,-1, 1,-2, 2,-3, 3,-4, 4,-5,…} = { 0; 2,-1, 2,-3, 4,-5, 6,-7, 8,-9,…} |
ここでは分子の数字を可能な限り分解しているため、代表的な超越数に対しても極めて単純な規則性が現れる。その代わりに収束は遅くなる。
黄金比に関連する各種の値を展開する。1+φ は次のように展開できる。
2φ や 2+φ は一種類の数字で展開できる。
φ を1から5までの数字を使用して表現すると
また次の式も成立する。
フィボナッチ数 1,1,2,3, 5, 8,13,… F1=1,F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1 (n>=2)
リュカ(Lucas)数 1,3,4,7,11,18,29,… L1=1,L2=3, Ln+1=Ln+Ln-1 (n>=2) とする。
φn をリュカ数の一般項 Ln=φn + (-φ)-n より求めると
nが奇数の場合 
nが偶数の場合 
隣り合うフィボナッチ数の比 Fn+1/Fn が黄金比に近い値である事は良く知られている。
φn = Fnφ + Fn-1 と Ln = Fn+1 + Fn-1 より正確なφの式を求めると
nが奇数の場合 
nが偶数の場合 
φ=1+1/(1+1/(1+1/(1+…)…) の各項を合体させ続けて得られる、収束の速い連分数。
φ=2-3/(8-7/(48-47/(2208-2207/(4870848-…)…)
分子のリュカ数 L2^k は 32-2=7 , 72-2=47 , 472-2=2207 , … の関係になっている。
2-3/(8-7/(48))=610/377=F15/F14
=1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1)))))))))))))
分子を1以外の数字に変更した黄金比の連分数。
10進数における小数点表示の数字に関係した展開。
√2 = 1.41421… であるが、最初の整数と分母が 1,4,1,4,… の連分数で表現できる。これを 14,14,… とすると10倍の値になる。
また 14 と 142 の数字の並びで表現できる。
√5 = 2.23606… であるが
√2や√3は代表的な平方根であるが、√3 ± √2 は連分数では10と関係が深い。
次式の値を小数で調べても面白い値である。 詳しくは「その他の関数の展開」を参照。
1=0.999999… に類似の式は 
参考: 対数における2,3と10の関係 (ln 3 / ln 2)^10 = (log2 3)^10 = 100.04…
√3 + √2 = 3.146… ≒ π である。π2 が10に近い値になることも納得できる。
最後の式は π2=6/12+6/22+6/32+6/42+6/52+… を思わせる形である。
√2 + √3 や√10 がπに近い値であることは古くから知られていて、偶然ではないかと思われている。連分数の立場では「√2 + √3 やπが√10 に近い値」になるのは必然である。