数値展開例(2)
黄金比は円周率と10の双方に関係が深い。円周率で展開すると次の連分数になる。
π/6と黄金比の対数は、符号のみが異なるだけで全く同じ係数に展開できる。
対数をはずしたもので較べると、形式も値も似ていることがわかる。
級数では次の関係がある。
2(π/6)2=1/2+1/(2*3*4)+1*2/(3*4*5*6)+1*2*3/(4*5*6*7*8)+…
2(lnφ)2=1/2-1/(2*3*4)+1*2/(3*4*5*6)-1*2*3/(4*5*6*7*8)+…
ここで偶数の係数を黄金比率倍すると、全体の値は3/5倍されて円周率の10分の1になる。
φφ と i i は連分数では同一形式の数である。
黄金比と円周率の積は5に近い値 (5.083203…)になる。
円周率は奇数と自然数の二乗を使用した黄金比で展開することもできる。
以下を始め、多くの個所で 
という呼び方をしている。
分母に奇数、分子に自然数の二乗が現れるパターンは上記以外にも多い。
上記2式の右辺を合成すると、左辺も合成したものになる。右側は分子を更に二乗した連分数。
次の3式は似た構造である。
次は '3' の位置によって値が変わる例である。
e と π の関係を示す連分数で、π がe の指数に移動するとその次の式になる。
↓
→
また次のような類似構造の連分数もある。
e^(πi) は3番目の分子が -4+22=0 であるため有理数(整数)となる。