数値展開例(3)
分子が奇数の連分数の例は
次の左側が最初の無限連分数と言われている有名なブラウンカーの公式である。
その1項を2項に分解すると、分子が1-1,3-3,5-5,…である右側の式になる。
次の左側を分解して変形すると、同様な式になる。ただし符号が逆で、値も逆数である。
次は355/113の近似度の良さが一目でわかる連分数であるが、数字の規則性はない。
元になる連分数と、先頭の17項を6項にまとめて項数を減らした連分数を示す。
できるだけ規則正しい数字(11-33-55 や 5-2)が並ぶように構成すると
円周率を全て奇数で展開すると次の連分数になる。両式を比較すると左辺の二乗に対応して右辺の数字も二乗した形になっているが、符号は微妙に異なる。
円周率を全て偶数で展開すると次の連分数になる。
円周率は勿論、そのべき乗も4の倍数を使用して展開できる。
2の立方根は3の倍数を使用して展開できる。
分子に奇数あるいは偶数が3回出現する単純な規則の連分数。
分母を全て1にした連分数には、円周率のような超越数にも単純な規則性が現れる。
分子を全て1にした連分数とは異なり、2次無理数との差は無い。上記以外の例として
の値は a=1/2 の場合は π/2 であるが、 a=3/2 の場合は √3 となる。
奇数と自然数の両方で構成される連分数。
分子に自然数、分母に奇数が現れる円周率の連分数。
ラマヌジャンによる式を連分数で統一すると
奇数と自然数が交互に現れる円周率の連分数。
自然数で構成される連分数。
自然数と偶数で構成された円周率と2の立方根の連分数。
M=1.198140… は1と√2 の算術幾何平均であり、ω=2.622057… はレムニスケート周率である。π = ωM の関係になっている。eやln 2も含めて、これらの基本的な数は自然数の化身と考える事ができる。