数値展開例(4)
平方根を含む連分数。
黄金比を含む恒等式と、全て1で構成された恒等式。
円周率を含む連分数。
オイラー積を連分数風に書くと 2,3,5,… を素数として
であるが、分母に0がない形にしたものが次の連分数である。
分母が調和級数等の発散級数形式である連分数。
次の級数とブラウンカーの公式は同等である。分母の2は 3-1=2, 5-3=2, 7-5=2,… 。
ブラウンカーの公式はウォリスの公式から導いたと言われているが、真偽の程は不明である。参照[5],[6]。
ここでは両公式をtan関数に拡張したものを考え、その関係を示す。
sin,cos関数の無限乗積とウォリスの公式を考慮すると、次式が成立する。
上記式はオイラーがもう少し一般的な形で求めている。ウォリスの公式を拡張したものと考えることができる。これを連分数化し、xをx+1/2にシフトして変形を続けるとブラウンカーの公式の拡張版になる。
ウォリスの公式により関係の深いものは「調和連分数」とでも呼べる連分数である。
この πとe には分母と分子を入れ替えた対称的な関係がある。
次の2式は分母の分数が逆数の関係である。
分母ではなく、分子にまた分数がある形式を考えることもできる。次式では分子が自然数の階乗となり、下の連分数と近い形である。
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