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関数展開の比較

 

代表的な初等関数の連分数展開を逆関数との関係で比較すると、類似性の強さがわかる。


連分数

べき級数

 

逆関数

 

 

中段の 1,2,3,4,…はべき級数のxの指数 x1,x2,x3,x4,…に対応していると考えると、下段が指数関数では1,2,3,4,…に対し、対数関数では12,22,32,42,…となる。

 



         

   

逆関数

   

 

中段の 1,3,5,7,…はべき級数のxの指数 x1,x3,x5,x7,…に対応していると考えると、12,22,32,42,…の部分と符号が相違点である。べき級数に較べて類似性が強い。

 

ζ(s)Riemannzeta関数値、Bkはベルヌーイ数である。

 


    

   

逆関数

   

 

双曲線関数との関係を見ると、べき級数では符号が交互に反転するのに対し、連分数では一斉に反転するのが特徴である。


   

逆関数

   

 

sin関数と逆関数の関係は、tan関数と同様なものがある。


arcsinの係数を1増加するとarcsinの二乗になる。

 

 

次の関数は近い形式に展開できる。

 

 


次の連分数はそれぞれどのような関数になるのだろうか。

            (0<x)

 

            (1/2<x)

 

            (1/2<x)

 

どうしても別の関数に思えてしまうのは先入観のためか。実際は同じ関数 √x になる。

ただし最後の連分数は数値計算上で確認した予想である。

 

似た形式の連分数として

            (1/2<x)

  (x ln x)/(x-1)  であり、

            (0<x)

  (x)/arctan(x) - 1  である。

 

密接な関係にある指数関数と三角関数を、類似点のわかり易い形式に展開したものである。

 

cos x のグラフを1/4周期だけ右へずらすとsin x のグラフになるが、cos x の連分数の係数を4個で一組としたとき、4分の1だけ後にずらした(12342345)ものがsin x の連分数になっている。



オイラーの公式  の関係は、分数では分母と分子で半角ずつ分け合い

つまり    となる。また    であり、

指数関数の基本的な構成要素がtanh関数であることは、冒頭の展開式を見ても明らかである。

 

べき級数ではsin(h),cos(h)関数は指数関数の基本的な構成要素であるが、連分数においてはその要素は -1/2 tan(h)関数 と考えることができる。

 

連分数

べき級数

e^ x

e^ x -1 = 1/(-1/2+1/(2 tanh x/2))

e^ x = cosh x +   sinh x

e^ix

e^ix -1 = 1/(-1/2+1/(2i tan x/2))

e^ix = cos  x + i sin  x

要素(偶関数)

-1/2

cosh x , cos x

要素(奇関数)

1/(2 tanh x/2) , 1/(2 tan x/2)

sinh x , sin x

 

この指数関数の分母部分はベルヌーイ数の生成元となっている。「複合初等関数の展開」を参照。


実数のある範囲内では、指数関数はsin関数とcos関数で構成される。

 

   (-π<x<π)

 

tan関数に変換すると

         (-π<x<π)

 

実数でtanh関数とtan関数は次の関係にある。

      (-π/2<x<π/2)

 

 

複素数が介在せずに、実数の範囲内でこれらの関係が示せるのが連分数の興味深い所だ。

 

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