関数展開の比較
代表的な初等関数の連分数展開を逆関数との関係で比較すると、類似性の強さがわかる。
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連分数 |
べき級数 |
↑
逆関数
↓
中段の 1,2,3,4,…はべき級数のxの指数 x1,x2,x3,x4,…に対応していると考えると、下段が指数関数では1,2,3,4,…に対し、対数関数では12,22,32,42,…となる。
↑
逆関数
↓
中段の 1,3,5,7,…はべき級数のxの指数 x1,x3,x5,x7,…に対応していると考えると、12,22,32,42,…の部分と符号が相違点である。べき級数に較べて類似性が強い。
ζ(s)はRiemannのzeta関数値、Bkはベルヌーイ数である。
↑
逆関数
↓
双曲線関数との関係を見ると、べき級数では符号が交互に反転するのに対し、連分数では一斉に反転するのが特徴である。
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逆関数
↓
sin関数と逆関数の関係は、tan関数と同様なものがある。
arcsinの係数を1増加するとarcsinの二乗になる。
次の関数は近い形式に展開できる。
次の連分数はそれぞれどのような関数になるのだろうか。
(0<x)
(1/2<x)
(1/2<x)
どうしても別の関数に思えてしまうのは先入観のためか。実際は同じ関数 √x になる。
ただし最後の連分数は数値計算上で確認した予想である。
似た形式の連分数として
(1/2<x)
は (x ln x)/(x-1) であり、
(0<x)
は (√x)/arctan(√x) - 1 である。
密接な関係にある指数関数と三角関数を、類似点のわかり易い形式に展開したものである。
cos x のグラフを1/4周期だけ右へずらすとsin x のグラフになるが、cos x の連分数の係数を4個で一組としたとき、4分の1だけ後にずらした(1234→2345等)ものがsin x の連分数になっている。
オイラーの公式 
の関係は、分数では分母と分子で半角ずつ分け合い
つまり 
となる。また 
であり、
指数関数の基本的な構成要素がtanh関数であることは、冒頭の展開式を見ても明らかである。
べき級数ではsin(h),cos(h)関数は指数関数の基本的な構成要素であるが、連分数においてはその要素は -1/2 と tan(h)関数 と考えることができる。
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連分数 |
べき級数 |
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e^ x |
e^ x -1 = 1/(-1/2+1/(2 tanh x/2)) |
e^ x = cosh x + sinh x |
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e^ix |
e^ix -1 = 1/(-1/2+1/(2i tan x/2)) |
e^ix = cos x + i sin x |
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要素(偶関数) |
-1/2 |
cosh x , cos x |
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要素(奇関数) |
1/(2 tanh x/2) , 1/(2 tan x/2) |
sinh x , sin x |
この指数関数の分母部分はベルヌーイ数の生成元となっている。「複合初等関数の展開」を参照。
実数のある範囲内では、指数関数はsin関数とcos関数で構成される。
(-π<x<π)
tan関数に変換すると
(-π<x<π)
実数でtanh関数とtan関数は次の関係にある。
(-π/2<x<π/2)
複素数が介在せずに、実数の範囲内でこれらの関係が示せるのが連分数の興味深い所だ。