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類似の展開

 

連分数展開の似たものを集めた。分母が奇数の倍数で、分子は自然数の倍数を二乗し加減算する形が典型である。減算でxが整数の場合、殆どは有限連分数になる。

 

 

 

 

 


 

 

 


 

 


 

 

 


別の典型である分母が奇数の倍数で、分子に加減算がない形式を集めると

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


分子を全て1に統一した連分数。

 

 

 

 

 


分母を全て1に統一した連分数。

 

 

 

    r=(x-1)/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    pは素数 (p=2,3,5,7,11,)


分子を j2+j の形式で表現した、代表的な無理数の連分数。

 

    

    

      ωはレムニスケート周率


円周率の類似展開を整理する。先頭がブラウンカーの公式を逆にしたものである。

 

分子が奇数の式

**    **

 

分子が自然数あるいは偶数の式

     

 

**

  **   

 

円周率は奇数の二乗と2を組み合わせて構成できる事は、昔から知られている。

自然数の二乗と2を組み合わせても同様であるのは、意外な結果だ。

(**印は良く知られた円周率の連分数)



ln 2 にも分子が自然数である類似の展開が存在する。

     

 


三角関数やゼータ関数から得られる円周率の展開を比較する。

奇数

偶数

素数

 

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