乗積の連分数展開

乗積の展開(2)

以下の形式の無限乗積を連分数に変換する。

は次の級数に変形後、連分数にする。

a_kが1の場合は

と変形して得られる式でc_k をa_kとすれば、a_k/b_k≠1のとき

ウォリスの積は調和数列を分母に持つ連分数になる。

また次の乗積から円周率の連分数を求めると

級数と乗積は全く別に思えるが、以下の関係がある。

一方で級数の展開は

乗積の展開でcを0に近付ければ、先頭の項を除いて級数の展開に等しくなる。