平方根の展開
√x は他の個所でも扱っているが、ここでは別の方法で展開する。以下は0<x とする。
x-1 は次のように展開できる。
従って
x=x2/x の分母のxに上記式の右辺を代入することにより
また式の途中経過から明らかなように
一般にm=0,1,2,3,…で
これから次の式が成立する。
√x の整数部分と小数部分を分離すると
最初の式は 1,2,3,4,…と変化させていったが、その替わりに 1,0,1,0,… と変化させれば
0,1,0,1,… と変化させれば
1,1,1,1,… と変化させれば、別の方法でも得られる式になる。
1,3,5,7,… と変化させれば
0,2,4,6,… と変化させれば
0,2,0,2,… と変化させれば
2,0,2,0,… と変化させれば
1,3,1,3,… と変化させれば
変化させる数列は任意でよいので0=<Ckとして(0<xのため0<x+Ck)
xと√x は上記の条件で任意の係数に連分数展開できることがわかった。例えば
この式の7項までを計算すると√3 の値は 1.7320507609… となる。
フィボナッチ数列を使用した式は
√x を速く収束させる為には x-Ck2 がゼロに近い値であればよい。
つまりCkが√x になるべく近い値であればよい。√x の近似値をCとすると
√x の整数部分をmとして
小数部分が規則正しく変化し、整数部分に繰り上がることがわかる。
√x の近似分数をm/nとして
実際に収束は速く、
7/5+(1/(14+1/14))/5=1393/985=1.41421319…
7/4-(1/(14-1/14))/4=1351/780=1.73205128… となる。
より近い値、m/n+(n2x-m2)/(2mn)=(n2x+m2)/(2mn) を出発点にすると
x=2でm/n=7/5のときn2x=50, m2=49 であるので
(99-(1/(198-1/198)))/70 = 3880899/2744210 = 1.41421356237314… となる。
この式を利用して黄金比φの収束が速い連分数を求めると
φ=(233-1/(322-1/(322-…)…)/(3*2*2*3*2*2)
(233-1/(322-1/(322)))/12^2 = 24157817/14930352 = 1.618033988749896…
更に考えると x-f(x)=(x2-(f(x))2)/(x+f(x)) であるので変化させる数列の替わりに関数を持ってきてもよいはずである。
何らかの制限が必要であろうが不明なので、ここではある例を考える。
黄金比φを使用した場合、φ^ln x は √x に近い値を与えるので次のように展開できる。
上記の5項までの値は
( )内はφ^ln x
x= 2 で
1.414213562339988…
( 1.39591… )
x= 3 で
1.732050807163360…
( 1.69666… )
x= 4 で
1.999999998502083… ( 1.94858… )
x=100 で 9.999996978815338… ( 9.17114… )
となる。