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対数関数の展開

 

ln x は次のように各種の展開ができる。

 

    

 

          ln x = - ln 1/x  より

      ln x = (ln x^n)/n  より

 

     (-1<x<1)

       (オイラー)

     級数の展開(1) での結果と同じになる。

  (0<x<2)

v=(x-1)/x のとき ln x = v+v²/2+v³/3+… を展開すると

             (1/2<x)

      (1/2<x)

 

上の式を分解すると

  (1/2<x)

    

 

これを別の形に変形すると

     (1/2<x)

    

 

u=(x-1)/(x+1) のとき ln x = 2{u+u³/3+u⁵/5+…} を展開すると

 

     x=i の場合も式が成立するようである。

    

     この2項を1項に合体させると

    

上の式を分解すると

   であるから

あるいは

              

ln x =(ln x^n)/n でn=2のケースを利用すると

 

     参考:上記の式で xをe^x とすると

    

     つまり

    

 

先程の関係を次の式に適用すれば

  

この式は上の(x²+1)/(x²-1)で構成した式を分解したものになっている。

 

 

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