その他の関数の展開
分母と分子が一定値の場合の関数を、自己相似を利用した方程式を解くことにより求める。
最初は全て'+'の場合を考える。
(オイラー)
次は'-'と'+'が交互に出現する場合である。
→
最後は全て'-'の場合である。
ここにカタラン数列 1,1,2,5,14,42,… が出てきている。その理由は上記の関数がカタラン数の母関数と本質的に等しいからである。
ちなみにフィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,… の母関数に等しい連分数を作ると
x=1000 のときの値は 1.001002003005008013021034055089144233377610… である。
左辺の分母は x=(1+√5)/2=1.618… でゼロになる。xは2以上であると収束が速い。
更に分母と分子の両係数がフィボナッチ数列である連分数を作ることができる。
x=5 のときの値で確認すると
1/(x-1/(x-1/(x-…)…) の項数を減らし、収束の速い式を求める。
の式を利用する。
途中の主な式は
これを続けると t→t2-2 の変換を中心とした次式になる。
この式を級数に変換する。
これが (x-√(x2-4))/2 に等しいため
従って
(x>=2)
同様な方法で他の式を求めると
(x>0)
√x は u=(x+1)/(x-1) として 1+2/(2u-1-1/(2u-1/(2u-…)…) である(二項展開(4)を参照)。これから収束の速い式を求めると
あるいは
v=2/(x-1)
(x>0,
x≠1)
(x>=-1, x≠0)
(x>=-1)
この式は収束が速く、ニュートン法により平方根を求める式を示しているようだ。
具体例は「級数と乗積 平方根の計算方法」や「級数と乗積 自然数・素数の積と級数」を参照。