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自然数・素数の積と級数

 

自然数や素数で代表される数列の積を、分子や分母に使用した級数を作成する。殆どは結果だけを示している。

円周率は奇数で構成される級数のイメージが強いが、自然数を使用した級数は

奇数 π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+… と 偶数 (ln 2)/2=1/2-1/4+1/6-1/8+… を組み合わせて作ることができる。

 

分子が加算だけである級数を作ることもできる。

 

円周率の小数部分を「連続する2つの自然数の積と和の分数」で表した式。

 

(sin^-1x)² の展開で x=1/2 とし、変形すると

π²/18=1/2+1/(2*3*4)+1*2/(3*4*5*6)+1*2*3/(4*5*6*7*8)+1*2*3*4/(5*6*7*8*9*10)+…

ただしこれは 建部賢弘 の式と本質的に等しい式である。

 

2ⁿの指数も含めて、自然数で構成される円周率の式。

 3π =1*2*3*2⁴/(5*6)+1*2*3*4*2⁵/(6*7*8)+1*2*3*4*5*2⁶/(7*8*9*10)+…

π/2 =2¹/2+1*2²/(3*4)+1*2*2³/(4*5*6)+1*2*3*2⁴/(5*6*7*8)+1*2*3*4*2⁵/(6*7*8*9*10)+…

調和級数1/1+1/2+1/3+1/4+… が無限大に発散する事は有名であるが、分母を素因数分解して

'4n+3型素数'(3,7,11,19,23,…)を奇数個含む項を'-'にすると値がπ/2になる。

 

上記級数の2倍の値は以下の通り増減する。

 2/ 1            2.00000…          -2/11 (11)       3.10468…
+2/ 2 (2)        3.00000…          -2/12 (2*2*3)    2.93802…
-2/ 3 (3)        2.33333…          +2/13 (13)       3.09186…
+2/ 4 (2*2)      2.83333…          -2/14 (2*7)      2.94901…
+2/ 5 (5)        3.23333…          -2/15 (3*5)      2.81567…
-2/ 6 (2*3)      2.90000…          +2/16 (2*2*2*2)  2.94067…
-2/ 7 (7)        2.61428…          +2/17 (17)       3.05832…
+2/ 8 (2*2*2)    2.86428…          +2/18 (2*3*3)    3.16943…
+2/ 9 (3*3)      3.08650…          -2/19 (19)       3.06417…
+2/10 (2*5)      3.28650…          +2/20 (2*2*5)    3.16417…

π/2= 1/1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7+1/8+1/9+1/10-1/11-1/12+1/13-1/14-1/15+…  から

π/4= 1/1    -1/3    +1/5    -1/7    +1/9     -1/11     +1/13     -1/15+…  を引けば

π/4=     1/2    +1/4    -1/6    +1/8    +1/10     -1/12     -1/14     +…  であり

π/4=(1/1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7+…)/2                 と変形すると最初の式に戻る。

 

この級数は π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+… とその1/2,1/4,1/8,… 倍の級数に分解できる。

(π/4)/1= 1/1    -1/3    +1/5    -1/7    +1/9     -1/11     +1/13     -1/15+…

(π/4)/2=     1/2            -1/6            +1/10               -1/14     +…

(π/4)/4=             1/4                              -1/12               +…

(π/4)/8=                             1/8                                  -…

  :

'4n+3型素数'同士の積は'4n+1型奇数'になる為、

'4n+1型奇数'は'4n+3型素数'を偶数個(0個も含む)持ち、'4n+3型奇数'は'4n+3型素数'を奇数個持つ。

そのため奇数が持つ'4n+3型素数'の個数は偶数と奇数を繰り返す。

4n+1    4n+1    4n+3     4n+3    4n+1    4n+3

 1                        3               3

 5       5                7               7

 9              3,3      11              11

13      13               15       5       3

17      17               19              19

21              3,7      23              23

25     5,5               27           3,3,3

'4n+1型素数'(5,13,17,29,37,…)を奇数個含む項を'-'にすると値がπになる。

オイラーの定数(γ=0.5772156649…)を自然数で表すと、分子がnである項が 2^n-1 個連続する次式となる(Vaccaの式を使用)。

Nielsenの式  γ=1-1/(3*4)-2/(5*6)-2/(7*8)-3/(9*10)- … -4/(17*18)- …  を利用すれば

 

参考：γと ln 2 の関係。 ln 2 = 1/1-1/2+1/3-1/4+…  の各項に ln (√2/k) を掛けた形で

       

       

      Vaccaの式は分子が整数である。

       

       

分母が連続する自然数の積、つまり階乗の場合は代表的な式

 e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…  , 1/e=1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-… がある。

 

      

      

1/e の分母や分子は数字がeの場合の逆になっている。e を3の倍数で表現すると

   

 

分子が階乗の2乗である級数の例は

      

  

  

ある数列の積を分母に持つ級数を考える。「連分数展開　その他の関数の展開」を参照。

    (-1=<1/x)

   (-1=<x)

等の式を利用する。

 

2^k番目のリュカ数(L₂=1²+2=3,L₄=3²-2=7,L₈=7²-2=47,L₁₆=47²-2=2207,…)の積の場合。

最初の式で 4x+2=3 (x=1/4) のケースは √5=1+4/2-4/(2L₂)-4/(2L₂L₄)-…

つまり  1/L₂+1/(L₂L₄)+…=(3-√5)/2=1/φ²

1/φ²=1/L₂+1/(L₂L₄)+1/(L₂L₄L₈)+1/(L₂L₄L₈L₁₆)+… =1/F₄+1/F₈+1/F₁₆+1/F₃₂+…

従って黄金比に関する既知の次式を得ることができる。

φ=1/F₁+1/F₂-1/F₄-1/F₈-1/F₁₆-1/F₃₂-… =1+1-1/3-1/21-1/987-1/2178309-…

ただし上記の F_n はフィボナッチ数である。

 

このフィボナッチ数を途中まで使用する場合は、続きの分子をカタラン数にすればよい。

φ=1+1-1/3-1/(3*7)-1/(3*7³)-2/(3*7⁵)-5/(3*7⁷)-14/(3*7⁹)-42/(3*7¹¹)-…

φ=1+1-1/3-1/21-1/(21*47)-1/(21*47³)-2/(21*47⁵)-5/(21*47⁷)-14/(21*47⁹)-…

その性質は次式に由来している。

 

F:1,1,2,3, 5, 8,13,21,34, 55, 89,144,233,377, 610, 987,…

L:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,843,1364,2207,…

分母が全て2で構成される級数。

√2=1+1/2-1/{2(2²+2)}-1/{2(2²+2)((2²+2)²-2)}-1/{2(2²+2)((2²+2)²-2)(((2²+2)²-2)²-2)}-…

     =1+1/2-1/(2*6)-1/(2*6*34)-1/(2*6*34*1154)-…        2²+2=6,  6²-2=34,  34²-2=1154

     =1+1/Q₁-1/(Q₁Q₂)-1/(Q₁Q₂Q₄)-1/(Q₁Q₂Q₄Q₈)-…

ここで Q_m=round( (1+√2)^m ) である。例えば (1+√2)⁸=1153.9991… であるので Q₈=1154 となる。

       1+1/2-1/12-1/408-1/470832 = 1.41421356237468…

分母は Q₁Q₂Q₄…Q_m=round( (1+√2)^2m/(2√2) ) であり、Q₁Q₂Q₄Q₈は(1+√2)¹⁶/(2√2)=470832.00000026… から値を得ることができる。これはペル数(Pell number)と呼ばれる数列の一部である。

 P₀ = 0, P₁ = 1, P_n = 2 P_n-1 + P_n-2   (n>1)

√2=1/P₁+1/P₂-1/P₄-1/P₈-1/P₁₆-1/P₃₂-…

 

P:1,2, 5,12,29, 70,169, 408, 985,2378, 5741,13860,33461, 80782,195025, 470832,…

Q:2,6,14,34,82,198,478,1154,2786,6726,16238,39202,94642,228486,551614,1331714,…

同様な式は √3 では  4²-2=14,  14²-2=194,  …と続く数を用いる。

√3=2-1/4-1/(4*14)-1/(4*14*194)-…=2-1/4-1/56-1/10864-…

この数列 4,14,194,… はメルセンヌ数 2^k-1 の素数判定法(Lucas-Lehmer test)で使用されている。また √3 はPepinによるフェルマー数 2^{2^k}+1 の素数判定法で使用される数である。この√3 は2のべき乗型の素数(メルセンヌ素数やフェルマー素数)と関係が深いようだ。

 

{(2+√3)^k-(2-√3)^k}/(2√3) の数列は     1, 4,15, 56,209, 780, 2911,10864,…

 (2+√3)^k+(2-√3)^k       　の数列は     4,14,52,194,724,2702,10084,37634,…

 

√5  では  4²+2=18,  18²-2=322,  …と続く数を用いる。√5=2√(1+1/4) より

√5 =2+1/4-1/(4*18)-1/(4*18*322)-…=2+1/(2*2)-1/(2*2*3*6)-…=2.236067977…

 

√10 では  6²+2=38,  38²-2=1442,  …と続く数を用いる。√10=3√(1+1/9) より

√10=3+1/6-1/(6*38)-1/(6*38*1442)-…=3+1/6-1/228-1/328776-…=3.162277660…

以上の数列は実2次体の基本単数やペル方程式の解と密接に関係している。

また連分数の項数の半減を繰り返した式を基にしているため、数列の2^k番目の値が級数の分母に使用される。そのためか平方根をニュートン法により求めた値と一致するようだ。例えば a₀=1,a_n+1=(a_n+3/a_n)/2 による√3 の近似分数は 2,  7/4,  97/56,  18817/10864, … である。

分母がフェルマー数 F_k=2^{2^k}+1 の積の場合は

類似の式

分子が素数、分母が(素数±1)の積とすると

 

分子が素数±1(あるいはその積)、分母を素数の積とすると

 

1と素数^素数を使用した級数。

 

素数で構成されるその他の級数。「ゼータ関数等の級数・乗積・連分数」を参照。

 

素数と同様に奇数や偶数の乗積を級数化すれば

 

奇数の級数を展開すると

π/4=1/1²-1/3²-1/5²-1/7²-1/9²-1/11²-1/13²-1/17²-1/19²-1/23²-1/25²-1/29²

     -1/31²-1/37²-1/41²-1/43²+1/45²-1/47²-1/49²-1/53²-1/59²-1/61²+1/63²- …

となる。分子の値はメビウスの関数と似て -1,0,+1 になると思われる。「異なる奇数の積」への分割方法によって値が決まる。奇数個の積の場合は +1,偶数個の積の場合は -1 として、その合計の値になる。実例は以下の通り。

-1 :  3=1*3  [-1]

 0 : 15=1*15 [-1] と 15=1*3*5 [+1]

+1 : 45=1*45 [-1] と 45=1*3*15=1*5*9 [+2]  ,      1=1  [+1]

    105=1*105=1*3*5*7 [-2] と 105=1*3*35=1*5*21=1*7*15 [+3]

 

黄金比に等しいフィボナッチ数の乗積を級数化すれば

これは次のような簡単な式に変形できる。

φ=1+1/(1*1)-1/(1*2)+1/(2*3)-1/(3*5)+1/(5*8)-1/(8*13)+…

φ=1+1/(1²+1)+1/(3²+1)+1/(8²+1)+1/(21²+1)+1/(55²+1)+…

自然数の積つまり階乗を級数化すれば

 

二重階乗の場合は

 (2n) !!=2ⁿ+(0!!0)2^n-1+(2!!2)2^n-2+…+(2n-2)!!(2n-2)2⁰

(2n+1)!!=2ⁿ+(1!!1)2^n-1+(3!!3)2^n-2+…+(2n-1)!!(2n-1)2⁰

例えば

      4!!=2²+(0!!0)2¹+(2!!2)2⁰        6!!=2³+(0!!0)2²+(2!!2)2¹+(4!!4)2⁰

      5!!=2²+(1!!1)2¹+(3!!3)2⁰        7!!=2³+(1!!1)2²+(3!!3)2¹+(5!!5)2⁰

上記の多くの式は、次の乗積の級数化式を利用している。

 

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