マンデルブロー集合図の発生
zにz2+c の値を繰り返し代入するとc の点がマンデルブロー集合図になっていく。その過程はあたかも生物の発生を思わせるものである。
マンデルブロー集合図はよく知られているように複素平面上の点cに対して、初期値z=0からz←z2+c を何回も繰り返し、zの絶対値が一定値(例えば2)を超えるまでの回数で点cの色を決めることにより作成する。
回数ではなくて値そのもの(絶対値 |z|)で色を決めて図を作成すると、次第にマンデルブロー集合図に近くなる。例えば左は4回目の図形である。等高線の並ぶこの図形は中心では小さな値であり、外側は大きな値でモアレ縞のような複雑な図形が見える。
外側の複雑な模様を単純化するためにzではなくtan-1z を使用するとシンプルな図形になる。更に係数を特殊なものにすると驚くべき図形を得ることができる。その図形によると粘土細工やガラス細工的な過程を経て、マンデルブロー集合図が作られていく様子が明らかになる。同じ4回目の図形を上の右に示す。外側から伸びている黒い棒状のものをペンチやピンセットと見立てる。それが各部分を引っ張って形を作っているように感じられる。別の見方については「マンデルブローの花」を参照。
この過程を最初から順番に見ていくと、まるで生物の胚が細胞分裂して形を作っていくような感覚になる。そのためマンデルブロー集合図の「発生」という題にした。
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回数 |
図形 |
棒の本数 |
説明 |
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1 |
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21=2 |
上下から軽く挟まれ、押しつぶされている。細胞分裂では2個になった状態。 |
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2 |
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22=4 |
左右に引っ張って伸ばされている。細胞分裂では4個になった状態。 |
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3 |
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23=8 |
上下左右の4方向に引っ張って伸ばされている。左側は強く引っ張られ、左右非対称が生じている。 |
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4 |
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24=16 |
更に2倍の部分が引っ張って伸ばされている。引きちぎられたように見える部分もある。 |
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5 |
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25=32 |
相当複雑な形になってきた。
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6 |
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26=64 |
マンデルブロー集合図らしき形になってきた。 |
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7 |
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(27=128) |
これ以降は棒の本数を実際に確認したわけではない。 |
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10 |
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(210=1024) |
殆どマンデルブロー集合図である。 |
一回の代入で倍の複雑な図形になるようだ。これが無限に続くわけだから、どこまで拡大しても複雑な図形が現れるのも当然だ。
3回目の拡大図は次の通り。
上記図を作成するUBASICプログラムは次のような簡単なものである。
150 school:screen 1:locate 0,26
200 ' z^2+c
220 for X=0 to 600
230 for Y=0 to 400
240 C=(X-400)/100+#i*(Y-200)/100:Z=0
270 for J=1 to 3:Z=Z*Z+C:next
350 if Z^2<>-1 then pset
(X,Y),int(abs(atan(Z))*6/#pi)@5+5
370 next
380 next
連続して表示する アニメーション。
