マンデルブローの花

簡単な計算z²+cを2～3回繰り返せば花の絵になる。しかも花びらは少し不揃いで中心には芯があり、昆虫が蜜を吸っているようにも見える。そのような自然と数式の不思議な関係を紹介する。

前のページではペンチやピンセットのようなものを考えたが、実はこれは花びらの縁であった。そう思わせる図形を示す。

この図を作成するUBASICプログラムは以下の通り。

150   school:screen 1:locate 0,26:D=0.001
200   ' z^2+c
220   for X=0 to 600
230     for Y=0 to 400
240       Z=0:C=(X-300)/25+#i*(Y-200)/25
270       for J=1 to 3:Z=Z*Z+C:next
350       if Z^2<>-1 then pset (X,Y),int(abs(atan(Z))*(6/#pi+D))@5+5
370     next
380   next

以前は 6/π の係数を使用したが、それをわずかに大きい値にして描画範囲を広くしただけである。

秋桜(コスモス)に似た花の形が数の秩序から生まれていることになる。秩序ある調和のとれた体系である宇宙もcosmosと呼ばれている。

代入が2回と4回の図では花びらの数が4枚と16枚になる。

増加させるDの値は2回では0.05 4回では0.00001 としている。

色を付ける関数は更に単純な abs(atan(Z))*(5/#pi+D)+5 で良いようだ。4回の図を作成すると別種類の昆虫がいるようで面白い。

zの初期値を0以外の実数にして試すと、横に長い花や横に並んだ花になる。

z=2

150   school:screen 1:locate 0,26:D=0.00001
200   ' z^2+c
220   for X=0 to 600
230     for Y=0 to 400
240       Z=2:C=(X-400)/25+#i*(Y-200)/25
270       for J=1 to 4:Z=Z*Z+C:next
350       if Z^2<>-1 then pset (X,Y),abs(atan(Z))*(5/#pi+D)+5
370     next
380   next

z=6

240 Z=6:C=(X-1200)/25+#i*(Y-200)/25 に変更

自然界でもこれと似た現象は起きることがあり、帯化と呼ばれている。

花びらがN枚の単純な図形は Z^N/2 を色付けすればよい。次の図は花びらが5枚の図形を描いている。

そのプログラムは

150   school:screen 1:locate 0,26:D=0.01
200   ' flower
220   for X=0 to 600
230     for Y=0 to 400
240       Z=#i*(X-300)/25+(Y-200)/25
350       if Z^2<>1 then pset (X,Y),abs(atan(Z^(5/2)))*(3/#pi+D)+6
370     next
380   next

ただし花の向きの関係で、x軸を虚数軸としている。

余談:Mandelbrot博士はポーランド生まれである。ドイツ語で名前の意味を調べるとMandelは英語でalmond、Brot[bro:t]は英語でbreadであり「アーモンド入りパン」となる。アーモンドの花(マンデルの花)は上のような5枚の花びらを持つ桜に似た花である。またアーモンドの花はドイツ語で Mandelblüte であり、どちらも"マンデルブロート"に聞こえてしまいそうだ。

簡単な式の値をtan^-1z を利用して色付けすると、自然界に近い図形になることは不思議な事だ。

これまでは全体の形を見るために、単純な模様になるような係数を選んできた。細部の模様を見るためにプログラムに変更を加えると、例えば次の図が得られる。これは胎蔵曼荼羅の中心部で中台八葉院と呼ばれる図に近く、結跏趺坐する大日如来に対応する模様が見える。獅子の上に座る文殊菩薩にも似ている。岡本太郎が制作した太陽の塔の模様も見える。またヒンドゥー教の神鳥であるガルーダに似た模様もある。この鳥はヴィシュヌ神の乗り物であり、タイ王室の紋章にもなっている。縦長の三角形はアメリカ合衆国の１ドル紙幣の左側に刷られている 光る目があるピラミッド に近い模様である。この図は右側にある翼を広げた 白頭鷲 にも見えてくるから不思議だ。

右は拡大図であり、トーテムポールの様に見える。下方にはヘルメスの杖あるいはカドゥケウスと呼ばれる模様が存在する。「秩序と調和」を参照。シンガポールの象徴である「マーライオン」(右下図)も近い形である。巻物を口にくわえ、手で印を結ぶ忍者(猿飛佐助)と、目のはっきりした蝦蟇の姿も見える。

写真はコスモスの中心部であり、上図の模様に似ていることに驚く。

150   screen 3:locate 0,26:D=0.005
  200   ' center of matrix mandala / cosmos
220   for X=0 to 600
230     for Y=0 to 400
240       Z=0:C=#i*(X-300)/40+(Y-200)/40
270       for J=1 to 3: Z=Z*Z+C: next
350       if Z^2<>-1 then pset (X,Y),1850*abs(atan(Z))*(5/#pi+D)
370     next
380   next

花びらが5枚の図形は Z^5/2 により作成でき、細部を描いたものが次の図である。花の中に十字があり、薔薇十字的な模様となる。

150   school:screen 3:locate 0,26:D=0.01
200   ' flower and cross
  220   for X=0 to 600
230     for Y=0 to 400
240       Z=#i*(X-300)/25+(Y-200)/25
350       if Z^2<>1 then pset (X,Y),400*abs(atan(Z^(5/2)))*(3/#pi+D)+6
370     next
380   next

目次次