目次          次

オイラー数とタンジェント数(2)

Euler numbers and tangent numbers

 

オイラー数とタンジェント数の生成規則を示す。ランダムウォーク整数の積の期待値との関係は興味深い。

tan x の導関数 の係数はオイラー数、タンジェント数、階乗に関係が深い。

t = tan x としてn階微分した時の多項式をgn(t)とすると

gn+1(t) = gn'(t) t' = gn'(t) (1+t2) であるので

(tan x)(0) = g0(t) = t

(tan x)(1) = g1(t) = 1(1+t2) = 1+t2

(tan x)(2) = g2(t) = 2t(1+t2) = 2t+2t3

(tan x)(3) = g3(t) = (2+6t2)(1+t2) = 2+(2+6)t2+6t4 = 2+8t2+6t4

一般的に …+ctj+… の部分は、微分により cjtj-1 と cjtj+1 に分割される。

 

1から始めて交互に奇数倍と偶数倍した数により、規則的に生成される様子を表で示す。

 

 

 

係数の合計であるg0(1),g1(1),g2(1),g3(1),…の値を求める。f(x)=tan(x+π/4)とすると

f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x2/2!+f'''(0)x3/3!+…

    =tan(0)(π/4)+tan(1)(π/4)(x/1!)+tan(2)(π/4)(x2/2!)+tan(3)(π/4)(x3/3!)+…

    =g0(1)+g1(1)x/1!+g2(1)x2/2!+g3(1)x3/3!+…

半角の公式 tan(x/2)=(1-cos x)/sin x より

tan(x/2+π/4)=tan((x+π/2)/2)=(1-cos(x+π/2))/sin(x+π/2)=(1+sin x)/cos x=(1/cos x)+tan x

であるので

f(x)=(1/cos 2x)+tan 2x

    =|E0|+T1(2x)/1!+|E2|(2x)2/2!+T3(2x)3/3!+…

両式の係数を比較すると

g0(1)=|E0|, g1(1)=2T1, g2(1)=22|E2|, g3(1)=23T3, …

表中の三角形の右端はn!であり、右から2番目の2,8,40,240,…は(n+1)!/3である。その影響もあり、タンジェント数の最初は階乗との簡単な関係を持つ。

T3 =   T1+1!  =  1+1 = 2

T5 = 2(T3+3!) = 2(2+6) = 16

T7 = 2(T5+5!) = 2(16+120) = 272

T9 = 8(T7+6!) = 8(272+720) = 7936

この表からタンジェント数の生成規則を求めると

 

例えばT5の値は

16 = 1*16

   = 1*2*8

   = 1*2(1*2+3*2)

   = 1*2(1*2*1+3*2*1)

   = 1*2*1*2*1+1*2*3*2*1

微分における jtj-1 や jtj+1 の係数jを経路に沿って積にしたものの和に等しい。

 

従ってTnの値は「1から始まり1で終了する、隣同士の差が1であるn個の自然数の積和」で生成される。

 

nが奇数の例は

 

T7 = 1*2*3*4*3*2*1      T5 = 1*2*3*2*1        T3 = 1*2*1 = 2       T1 = 1
    +1*2*3*2*3*2*1          +1*2*1*2*1 = 12+4 = 16
    +1*2*1*2*3*2*1
    +1*2*3*2*1*2*1
    +1*2*1*2*1*2*1 = 144+72+24+24+8 = 272

T5とT7の場合を図形で示す。組み合わせの数は1,1,2,5,…とカタラン数に従って増加する。

   


Tkの積和は Tk-2,Tk-4,… の積和をその一部として含む。例えばT9の場合は

   1*2*3*4*5*4*3*2*1
   1*2*3*4*3*4*3*2*1
   1*2*3*2*3*4*3*2*1
   1*2*1*2*3*4*3*2*1
   1*2*3*4*3*2*3*2*1
   1*2*3*2*3*2*3*2*1
   1*2*1*2*3*2*3*2*1
   1*2*3*2*1*2*3*2*1
   1*2*1*2*1*2*3*2*1
   1*2*3*4*3*2*1*2*1
   1*2*3*2*3*2*1*2*1
   1*2*1*2*3*2*1*2*1
   1*2*3*2*1*2*1*2*1
   1*2*1*2*1*2*1*2*1

その関係から求めた漸化式。式は少し複雑である。

T5 = 22(2T3)

T7 = 22(2T5+324)

T9 = 22(2T7+32(2T5+24T3+425))

T11= 22(2T9+32(2T7+42(4T5+128T3+526)))

 

nが偶数の場合は 1*2*3*2 や 1*2*1*2 の様に1で終了できない。従ってTn=0となる。

0や-1,-2,…を通る経路を追加しても値は変わらないため、整数の積和としてもよい。

係数の合計を2nで割った値が|En|やTnになる事は、以下の様なランダムウォークによる生成規則を示している。

「n番目のzigzag数の絶対値は、1から始まるn個のrandom walk整数の積の期待値」である。

            E4                            T3                     -E2
.+++ ( 1)( 2)( 3)( 4) = 24      .++ ( 1)( 2)( 3) =  6      .+ ( 1)( 2) =  2
.++- ( 1)( 2)( 3)( 2) = 12      .+- ( 1)( 2)( 1) =  2      .- ( 1)( 0) =  0
.+-+ ( 1)( 2)( 1)( 2) =  4      .-+ ( 1)( 0)( 1) =  0       2通り  合計 2  平均 1
.+-- ( 1)( 2)( 1)( 0) =  0      .-- ( 1)( 0)(-1) =  0
.-++ ( 1)( 0)( 1)( 2) =  0       4通り  合計 8  平均 2
.-+- ( 1)( 0)( 1)( 0) =  0
.--+ ( 1)( 0)(-1)( 0) =  0
.--- ( 1)( 0)(-1)(-2) =  0
 8通り  合計 40  平均 5

以下は積が0にならない部分だけを示す。

                 -E6                                       T5
.+++++ ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6) = 720      .++++ ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) = 120
.++++- ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 4) = 480      .+++- ( 1)( 2)( 3)( 4)( 3) =  72
.+++-+ ( 1)( 2)( 3)( 4)( 3)( 4) = 288      .++-+ ( 1)( 2)( 3)( 2)( 3) =  36
.+++-- ( 1)( 2)( 3)( 4)( 3)( 2) = 144      .++-- ( 1)( 2)( 3)( 2)( 1) =  12
.++-++ ( 1)( 2)( 3)( 2)( 3)( 4) = 144      .+-++ ( 1)( 2)( 1)( 2)( 3) =  12
.++-+- ( 1)( 2)( 3)( 2)( 3)( 2) =  72      .+-+- ( 1)( 2)( 1)( 2)( 1) =   4
.++--+ ( 1)( 2)( 3)( 2)( 1)( 2) =  24       16通り  合計 256  平均 16
.+-+++ ( 1)( 2)( 1)( 2)( 3)( 4) =  48
.+-++- ( 1)( 2)( 1)( 2)( 3)( 2) =  24
.+-+-+ ( 1)( 2)( 1)( 2)( 1)( 2) =   8
 32通り  合計 1952  平均 61

乱数を使用したプログラムにより、|E2|からT7までの値を確率的に求める。

 

  200   ' Calculate ZigZag Numbers using Random Walk method
  230   N=10^7
  240   for K=2 to 7            ' |E2| - - - T7
  250     A=0
  260     for M=1 to N          ' try N times
  270       J=1:B=1
  280       for I=2 to K
  290         D=2*(rnd<1/2)-1   ' D = -1 or 1
  310         J+=D:B*=J
  350       next
  360       A+=B
  370     next
  380     print using(4,2),A/N,
  390   next

実行結果
   1.00    2.00    5.00   15.99   60.99  272.15

オイラー数とタンジェント数を、期待値(平均)ではなく単一の式として求める。

 

E4に対応する積和S4は次の様に計算できる。

1*2*3*4+1*2*3*2=1*2*3*(4+2)=2(1*2*32)

1*2*1*2+1*2*1*0=1*2*1*(2+0)=2(1*2*12)

S4=2(1*2)(32+12)=22(32+12)

ここで (n+1)2+(n-1)2=2(n2+1) を利用すると

S4=23(22+1) となり E4=S4/8=22+1=5

 

同様にT5に対応する積和S5は次の様に計算できる。

1*2*3*4*5+1*2*3*4*3=1*2*3*4*(5+3)=2(1*2*3*42)

1*2*3*2*3+1*2*3*2*1=1*2*3*2*(3+1)=2(1*2*3*22)

1*2*1*2*3+1*2*1*2*1=1*2*1*2*(3+1)=2(1*2*1*22)

S5=2(1*2*3)(42+22)+2(1*2*1)(22+02)

  =2(1*2*3)2(32+1)+2(1*2*1)2(12+1)

  =22(1*2)(33+3)  +22(1*2)(13+1)

  =23(33+13+3+1)

ここで (n+1)3+(n-1)3=2(n3+3n) と

　　　 (n+1)1+(n-1)1=2(    n) を利用すると

S5=24(1*23+4*2) となり T5=S5/16=1*23+4*2=16

-E6を同様に計算していくと、最終的に

 1{(n+1)4+(n-1)4}=2(n4+6n2+1)

 4{(n+1)2+(n-1)2}=2(   4n2+4) を利用する形になり

-E6=1*24+10*22+5=61

 

 T7を同様に計算していくと、最終的に

 1{(n+1)5+(n-1)5}=2(n5+10n3+ 5n) ←左の係数10や5は二項係数

10{(n+1)3+(n-1)3}=2(   10n3+30n)

 5{(n+1)1+(n-1)1}=2(         5n) を利用する形になり

 T7=1*25+20*23+40*2=272

 

この前後も含めて統一した形式で示す。

-E2=1*20

 T3=1*21

 E4=1*22+ 1*20

 T5=1*23+ 4*21

-E6=1*24+10*22+  5*20

 T7=1*25+20*23+ 40*21

 E8=1*26+35*24+175*22+ 61*20

 T9=1*27+56*25+560*23+768*21

 :

2kの係数は行列の積により求めることができる。

 

             

 

        

 

従って行列式を使用して

 

二項係数で表現すると

上記係数の単純な和もオイラー数とタンジェント数になる事は興味深い。

-E2=1

 T3=1+1=2

 E4=1+4=5

 T5=1+10+5=16

-E6=1+20+40=61

 T7=1+35+175+61=272

 E8=1+56+560+768=1385

 :

 

行列の積で表現すると

上記式が成立する理由は、例えば

のように成分が2kの縦ベクトルは、成分が二項係数の行列と成分が全て1の縦ベクトルの積に分解できるからである。一般的に Σj=0n 2nC2j = 22n-1 と Σj=0n 2n+1C2j+1 = 22n が成り立つ。

|E0|,T1,|E2|,T3,|E4|,T5,|E6|,T7,…をGkと表現すると、ジグザグ数の級数式は

  あるいは 

つまり

 

jが0と1の2項で計算した場合の値は以下の通り。

 

  200   ' Calculate ZigZag Numbers
  230   for K=0 to 11
  240     A=0
  250     for J=0 to 1
  260       A+=((-1)^J/((J+1/2)*#pi))^(K+1)
  270     next
  280     G=2*!(K)*A:print using(8),K;round(G);using(8,5),G
  290   next

実行結果
       0       1       0.84883
       1       1       0.90063
       2       1       0.99383
       3       2       1.99540
       4       5       4.99863
       5      16      15.99880
       6      61      60.99928
       7     272     271.99925
       8    1385    1384.99932
       9    7936    7935.99916
      10   50521   50520.99899
      11  353792  353791.99852

隣り合うジグザグ数の比は Gk ≒ 2(2/π)k+1k! を使用すれば

 Gk-1/Gk ≒ {2(2/π)k(k-1)!}/{2(2/π)k+1k!} = π/(2k)

この式から円周率の近似値は π ≒ 2kGk-1/Gk で求まる。

例えば k=11の場合は 2*11*|E10|/T11 = 22*50521/353792 = 3.1415690…

 

ランダムウォークにより円周率の値を求める。

 

  200   ' Calculate Pi using Random Walk method
  210   A1=0:A2=0:F=10^5:K=11
  220   for M=1 to 50*F
  230     J=1:B=1
  240     for I=2 to K
  250       D=2*(rnd<1/2)-1:J+=D:B*=J
  260     next
  270     if J<>0 then A1+=B/J:A2+=B
  280     if M@F=0 then print using(3,4),2*K*A1/A2;
  290   next

実行結果
  3.1168  3.1283  3.1340  3.1338  3.1406  3.1377  3.1440  3.1455  3.1461  3.1464
  3.1467  3.1488  3.1479  3.1466  3.1497  3.1491  3.1490  3.1478  3.1475  3.1479
  3.1477  3.1460  3.1443  3.1449  3.1428  3.1427  3.1429  3.1434  3.1433  3.1429
  3.1431  3.1426  3.1430  3.1432  3.1427  3.1420  3.1413  3.1408  3.1402  3.1406
  3.1404  3.1403  3.1401  3.1407  3.1403  3.1407  3.1406  3.1409  3.1412  3.1414

sec x の導関数の係数はオイラー数と階乗に関係が深い。

(sec x)(0) = 1/cos x

(sec x)(1) = sin x /cos2 x

(sec x)(2) = 1/cos x + 2sin2 x /cos3 x

(sec x)(3) = 5sin x /cos2 x + 6sin3 x /cos4 x

と続くが、(sec x)(n)cos x = gn(t) の形であるt(=tan x)の多項式を考えると見通しが良い。

(sec x)(0)cos x = g0(t) = 1

(sec x)(1)cos x = g1(t) = t

(sec x)(2)cos x = g2(t) = 1+2t2

(sec x)(3)cos x = g3(t) = 5t+6t3

 :

(sec x)(n)cos x = gn(t) の両辺をxで微分すると

(sec x)(n+1)cos x - (sec x)(n)sin x = gn'(t)t'

(sec x)(n+1)cos x = gn'(t)t' + (sec x)(n)sin x = gn'(t)(1+t2) + gn(t)t

従って gn+1(t) = gn'(t)(1+t2) + gn(t)t であり、一般的に …+ctj+… の部分は微分により

cjtj-1 と c(j+1)tj+1 に分割される。

 

sec x の導関数の係数による同様の表を示す。左端にオイラー数が現れる三角形は、1から始めて自然数倍した数により、規則的に生成される。

 

 

 

三角形の右端はn!であり、右から2番目の1,5,28,180,1320,…は n!(2n-1)/6 である。

この表からオイラー数の生成規則を求めると、nが偶数時の|En|の値は

「1から始まり1で終了する、隣同士の差が0か1であるn個の自然数の積和」で生成される。

  ただし

「増加や減少の方向を反転するには同じ数を偶数個続け、継続するには同じ数を奇数個続ける」ものとする。

(後半の継続条件を追加 2014.12.04)

 

-E6 = 1*2*3*3*2*1           E4 = 1*2*2*1             -E2 = 1*1 = 1
     +1*2*2*2*2*1               +1*1*1*1 = 4+1 = 5
     +1*2*2*1*1*1
     +1*1*1*2*2*1
     +1*1*1*1*1*1 = 36+16+4+4+1 = 61

E6の場合を図形で示す。

 

市松模様の薄い灰色の内部は通過できない。

 

仮想的に「方向の反転は半整数で行う」形になる。

 

          目次          次