ベルヌーイ数等の関係式
formula for Bernoulli and zigzag numbers
三角関数の式を係数比較してベルヌーイ数・オイラー数・タンジェント数の関係式を求める。
S=sin x , C=cos x , T=tan x , s=sin(x/2) , c=cos(x/2) , t=tan(x/2) と略記する。
ベルヌーイ数は 1/t 等の係数に含まれ、オイラー数は 1/C 等の係数に含まれ、タンジェント数は T 等の係数に含まれる。具体例は次の通り。
1/t = 2B0/x - 2B2x1/2! + 2B4x3/4! - 2B6x5/6! + …
1/S = B0/x + (22-2)B2x1/2! - (24-2)B4x3/4! + (26-2)B6x5/6! - …
1/S2 = B0/x2 + 22B2x0/(0!2) - 24B4x2/(2!4) + 26B6x4/(4!6) - …
1/T2 = B0/x2 - 22B2x0/(0! ) - 24B4x2/(2!4) + 26B6x4/(4!6) - …
ln(x/S) = 22B2x2/(2!2) - 24B4x4/(4!4) + 26B6x6/(6!6) - …
1/C = E0x0/0! - E2x2/2! + E4x4/4! - E6x6/6! + …
S/C2 = - E2x1/1! + E4x3/3! - E6x5/5! + …
ln((1+S)/C) = E0x1/1! - E2x3/3! + E4x5/5! - E6x7/7! + …
T = T1x1/1! + T3x3/3! + T5x5/5! + T7x7/7! + …
1/C2 = T1x0/0! + T3x2/2! + T5x4/4! + T7x6/6! + …
T2 = T3x2/2! + T5x4/4! + T7x6/6! + …
2S/C3 = T3x1/1! + T5x3/3! + T7x5/5! + …
ln(1/C) = T1x2/2! + T3x4/4! + T5x6/6! + T7x8/8! + …
(1+S)/C = E0x0/0! + T1x1/1! - E2x2/2! + T3x3/3! + E4x4/4! + T5x5/5! - …
C/(1+S) = E0x0/0! - T1x1/1! - E2x2/2! - T3x3/3! + E4x4/4! - T5x5/5! - …
ln(1+S) = E0x1/1! - T1x2/2! - E2x3/3! - T3x4/4! + E4x5/5! - T5x6/6! - …
ln(1-S) =-E0x1/1! - T1x2/2! + E2x3/3! - T3x4/4! - E4x5/5! - T5x6/6! + …
多くの三角関数の式に対応して、多数の関係式が成立する。以下では最初の行に三角関数に関する等式を示し、続けて関係式の例を一般式の代わりに示す。
ベルヌーイ数に関する漸化式等
1+C=S(1/t)
1 = (01)B0
3/2 = (03)B0 + (23)B2
5/2 = (05)B0 + (25)B2 + (45)B4
7/2 = (07)B0 + (27)B2 + (47)B4 + (67)B6
S=(1-C)(1/t)
1 = (02)B0
2 = (04)B0 + (24)B2
3 = (06)B0 + (26)B2 + (46)B4
4 = (08)B0 + (28)B2 + (48)B4 + (68)B6
B1=-1/2,B3=B5=…=0 であるので、上記のB6で終わる式は次のようにも書ける。
0 = (07)B0 + (17)B1 + (27)B2 + (37)B3 + (47)B4 + (57)B5 + (67)B6
0 = (08)B0 + (18)B1 + (28)B2 + (38)B3 + (48)B4 + (58)B5 + (68)B6
この2式の差より
0 = (07)B1 + (17)B2 + (27)B3 + (37)B4 + (47)B5 + (57)B6 同様に
0 = (05)B1 + (15)B2 + (25)B3 + (35)B4
0 = (03)B1 + (13)B2
偶数のベルヌーイ数だけに戻した式は
1/2 = (13)B2
1/2 = (15)B2 + (35)B4
1/2 = (17)B2 + (37)B4 + (57)B6
2nを含むベルヌーイ数の漸化式。
c=s(1/t)
1 = (01)20B0
3 = (03)20B0 + (23)22B2
5 = (05)20B0 + (25)22B2 + (45)24B4
7 = (07)20B0 + (27)22B2 + (47)24B4 + (67)26B6
Bk/k に関する式。
C2=S2(1/T2)
1/(3*4)= (02)B2/2
1/(5*6)= (04)B2/2 + (24)B4/4
1/(7*8)= (06)B2/2 + (26)B4/4 + (46)B6/6
C=S(1/T)
2/3 = (12)22B2/2
4/5 = (14)22B2/2 + (34)24B4/4
6/7 = (16)22B2/2 + (36)24B4/4 + (56)26B6/6
(1/t)-2/T=t の式よりベルヌーイ数とタンジェント数の関係式を得る。
B2/2= T1/{22(22-1)} B6/6= T5/{26(26-1)}
B4/4= -T3/{24(24-1)} B8/8= -T7/{28(28-1)}
1/t2=(1/t)(1/t)
-5B4 = (24)B2B2
-7B6 = (26)B2B4 + (46)B4B2
-9B8 = (28)B2B6 + (48)B4B4 + (68)B6B2
オイラー数とタンジェント数の漸化式等
両者の関係式は「オイラー数とタンジェント数(1)」を参照。
T=C(S/C2)
-T1 = (11)E2
T3 = (13)E2 + (33)E4
-T5 = (15)E2 + (35)E4 + (55)E6
T7 = (17)E2 + (37)E4 + (57)E6 + (77)E8
T=S(1/C)
T1 = (01)E0
-T3 = (03)E0 + (23)E2
T5 = (05)E0 + (25)E2 + (45)E4
-T7 = (07)E0 + (27)E2 + (47)E4 + (67)E6
T2=T T
T3 = (12)T1T1
T5 = (14)T3T1 + (34)T1T3
T7 = (16)T5T1 + (36)T3T3 + (56)T1T5
T9 = (18)T7T1 + (38)T5T3 + (58)T3T5 + (78)T1T7
(1/C)-1=T t
-E2 = (12)T1T1/21
E4 = (14)T3T1/23 + (34)T1T3/21
-E6 = (16)T5T1/25 + (36)T3T3/23 + (56)T1T5/21
E8 = (18)T7T1/27 + (38)T5T3/25 + (58)T3T5/23 + (78)T1T7/21
1/c2=(2-1/c2)(1/C)
-T3 = (22)21T1E2
T5 = (24)21T3E2 + (44)23T1E4
-T7 = (26)21T5E2 + (46)23T3E4 - (66)25T1E6
T9 = (28)21T7E2 + (48)23T5E4 - (68)25T3E6 + (88)27T1E8