平方数間の素数の個数(1)
primes between squares
平方数の間隔12〜22,22〜32,…,(n-1)2〜n2 での素数の個数は、次の式で高精度に近似できる。
(n=2,3,4,…) この式をf(n)とする。
例えばn=2の場合は12〜22つまり1〜4には素数が2と3の2個が存在するが、(2+1/2-1)/ln 2=2.16… である。最初の部分を表にする。
|
n |
(n-1)2 |
素数 |
n2 |
個数 |
f(n) |
f(n)値 |
差 |
|
2 |
1 |
2, 3 |
4 |
2 |
(1+1/2)/ln 2 |
2.16 |
0.16 |
|
3 |
4 |
5, 7 |
9 |
2 |
(2+1/3)/ln 3 |
2.12 |
0.12 |
|
4 |
9 |
11,13 |
16 |
2 |
(3+1/4)/ln 4 |
2.34 |
0.34 |
|
5 |
16 |
17,19,23 |
25 |
3 |
(4+1/5)/ln 5 |
2.61 |
-0.39 |
|
6 |
25 |
29,31 |
36 |
2 |
(5+1/6)/ln 6 |
2.88 |
0.88 |
|
7 |
36 |
37,41,43,47 |
49 |
4 |
(6+1/7)/ln 7 |
3.16 |
-0.84 |
|
8 |
49 |
53,59,61 |
64 |
3 |
(7+1/8)/ln 8 |
3.43 |
0.43 |
|
9 |
64 |
67,71,73,79 |
81 |
4 |
(8+1/9)/ln 9 |
3.69 |
-0.31 |
参考:ルジャンドル予想 「隣り合う平方数の間には必ず素数がある」は未解決問題である。
証明の試みは Counting primes in the interval (n^2,(n+1)^2) や
Towards Proving Legendre's Conjecture を参照。
nが2から100までの範囲、つまり12〜22,22〜32,…,992〜1002 の範囲のグラフを示す。
最初の3区間で水平になる部分も極めて近い線になっている。
個数の累積はπ(n2)と等しいが、f(n)の累積の値と殆ど一致している。両者の差を100倍のスケールで描いたのが一番下の線である。この範囲では殆どが±4に収まっている。
π(n2)をπ(x)として考えれば 
となる。xが大きい場合の精度を確認するため、10の偶数乗での値を調べる。
|
x |
π(x) |
Σ(k+1/k-1)/ln k |
[Σ]-π(x) |
[R(x)]-π(x) |
[S(x)]-π(x) |
|
10^2 |
25 |
26.35 |
1 |
1 |
0 |
|
10^4 |
1,229 |
1,227.86 |
-1 |
-2 |
0 |
|
10^6 |
78,498 |
78,523.75 |
26 |
29 |
38 |
|
10^8 |
5,761,455 |
5,761,507.84 |
53 |
97 |
128 |
|
10^10 |
455,052,511 |
455,050,329.69 |
-2,181 |
-1,828 |
-1,715 |
|
10^12 |
37,607,912,018 |
37,607,907,846.62 |
-4,171 |
-1,476 |
-1,055 |
|
10^14 |
3,204,941,750,802 |
3,204,941,710,986.21 |
-39,816 |
-19,200 |
-17,573 |
|
10^16 |
279,238,341,033,925 |
279,238,341,200,690.38 |
166,765 |
327,052 |
333,523 |
[x]はxに一番近い整数(四捨五入)である。R(x)とS(x)は「素数の分布(1)」を参照。
大きい値でもR(x)やS(x)と同程度の精度と思われる。
(n+1/n-1)/ln n の予想式を考えた経緯。
と
を比較すると
j=2としてk/ln k のxまでの和は1/ln k のx2 までの和に近いことがわかる。
また対数積分が自然数の分母を持つ級数であるのに対して、S(x)の基本となる級数
は偶数の分母を持つ。そして後者の方が精度が良いので、求める式は偶数の係数で展開される式が適している。
に対して
であるので
tをln n に置き換えた (n+1/n)/ln n の和に近い式であると考えた。
自然数n-1〜n の区間、正確にはn-1<t<=n での素数の個数(密度)はガウスの予想では1/ln n である。私の予想はそれよりやや少なく、(1-1/(2√n))/ln n 程度である。(x-1)2からx2までの個数 (x+1/x-1)/ln x を区間の長さ x2-(x-1)2=2x-1 で割って、x2=n つまりx=√n とすればこれに近い式になるのがその理由である。従って
計算式は
ここでxが大のとき2/xをゼロに近いと見なし省略すると
nが大のとき影響度の少ない分母の-1も省略すると上記式になる。
x=2のとき0.93, x=3のとき1.58, x=5のとき2.60 となる。xが大の場合を表にすると
|
x |
π(x) |
Σ(1-1/(2√k))/ln k |
[Σ]-π(x) |
[R(x)]-π(x) |
[S(x)]-π(x) |
|
10^1 |
4 |
4.61 |
1 |
1 |
0 |
|
10^2 |
25 |
26.56 |
2 |
1 |
0 |
|
10^3 |
168 |
170.34 |
2 |
0 |
1 |
|
10^4 |
1,229 |
1,230.54 |
2 |
-2 |
0 |
|
10^5 |
9,592 |
9,593.68 |
2 |
-5 |
0 |
|
10^6 |
78,498 |
78,538.19 |
40 |
29 |
38 |
|
10^7 |
664,579 |
664,686.37 |
107 |
88 |
105 |
[x]はxに一番近い整数(四捨五入)である。
S(x)との差がおよそ2であるようだ。分母の-1を省略しないとΣの値がおよそ0.6〜1減少する。
Σ1/ln x は「対数和分」であり、対数積分li(x)に対応していて、ほぼ同じ値となる。
π(x)を微分した式はラマヌジャンによると
(Ramanujan)
積分してπ(x)に近い関数はこれである。「和分」してπ(x)に近い関数は少し異なるが、似た関数である。今回はそれを {1-(1/2)x^(-1/2)}/(ln x) で近似していることになる。
{1-(1/2)x^(-1/2)}/(ln x) を積分した時の値は2005年5月のAbrarovらによる論文
Explicit analytical formula for pi-function approximation で計算されていて、ここでのΣによる値と近いものになっている。
平方数間の式と上記の式を組み合わせると現実的な回数で計算が可能な式になる。
平方数として扱える部分とそれ以外の部分を加算した式である。10の偶数乗は平方数間の式と同じ値になるので、10の奇数乗の場合を表にする。
|
x |
π(x) |
Σ+Σ |
[Σ+Σ]-π(x) |
[R(x)]-π(x) |
[S(x)]-π(x) |
|
10^1 |
4 |
4.65 |
1 |
1 |
0 |
|
10^3 |
168 |
169.39 |
1 |
0 |
1 |
|
10^5 |
9,592 |
9,587.35 |
-5 |
-5 |
0 |
|
10^7 |
664,579 |
664,653.23 |
74 |
88 |
105 |
|
10^9 |
50,847,534 |
50,847,328.86 |
-205 |
-79 |
-19 |
|
10^11 |
4,118,054,813 |
4,118,051,517.05 |
-3,296 |
-2,318 |
-2,101 |
|
10^13 |
346,065,536,839 |
346,065,523,623.32 |
-13,216 |
-5,773 |
-4,949 |
|
10^15 |
29,844,570,422,669 |
29,844,570,438,539.28 |
15,870 |
73,218 |
76,453 |
[x]はxに一番近い整数(四捨五入)である。