平方数間の素数の個数(2)
primes between squares
奇数の平方数(n-2)2〜n2間における個数の近似式は
(n=3,5,7,…)
|
n |
(n-2)2 |
個数 |
n2 |
g(n) |
g(n)値 |
差 |
|
3 |
1 |
4 |
9 |
2(1.5+1/2.5)/ln 2.5 |
4.15 |
0.15 |
|
5 |
9 |
5 |
25 |
2(3.5+1/4.5)/ln 4.5 |
4.95 |
-0.05 |
|
7 |
25 |
6 |
49 |
2(5.5+1/6.5)/ln 6.5 |
6.04 |
0.04 |
|
9 |
49 |
7 |
81 |
2(7.5+1/8.5)/ln 8.5 |
7.12 |
0.12 |
nが大きい場合の精度は平方数の式と同一である。例えばn=10^7+1までの累積値は
通常の平方数 2,3,4,5,…,10^7+1の加算で 3,204,942,331,406.89…
奇数の平方数 3,5,7,9,…,10^7+1の加算で 3,204,942,331,406.77…
大きい値でも約0.1の差である。
奇数の平方数の場合は相当規則正しく分布しているようである。分布が乱れている部分はゼータ関数の零点の値との関係があるように思える。例えばn=3,5,7,9,11,13では規則正しく並んでいるが、n=15,17,19では乱れている。そしてn=21,23では再び規則正しく並んでいる。零点の概算値はT1=14.1,T2=21.0であり、 3〜13<14.1<15〜19<21.0≒21〜 という関係にある。
図形的に言えば「奇数番目の零点と偶数番目の零点の対の外側では規則正しいが、内側では乱れる」という傾向にある。規則正しい点としては前記以外に n=45,63,69,75,97が目立つ。
g(n)を基準にした個数と零点(zeta zeros)の関係をグラフにすると
偶然の一致とは思えない興味深い現象である。
6の倍数+1の平方数間では殆ど規則正しく分布している。区間12〜72〜…〜4932〜4992でのグラフを示す。
更に大きな数の平方数間では直線に近い曲線になる。
素数の平方数間での分布は mathworld.wolfram BrocardsConjecture を参照。