累乗と素数
power and prime numbers
素数の分布と対数の関係は有名であるが、累乗に関する値にも素数の個数が関係しているようだ。
2以上の整数nを2つの自然数j,kに分割して(n=j+k)、jk が最大値になるときのjをmとする。下の表でわかる通り、mはnまでの素数の個数π(n)に近い値になる。水色の部分が最大値mk であり、mがπ(n) と異なる場合は薄い緑色の部分に正しい(素数の個数)kを示している。
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n |
1^(n-1) |
2^(n-2) |
3^(n-3) |
4^(n-4) |
5^(n-5) |
6^(n-6) |
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2 |
1^ 1=1 |
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3 |
1^ 2=1 |
2^ 1=2 |
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4 |
1^ 3=1 |
2^ 2=4 |
3^1=3 |
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5 |
1^ 4=1 |
2^ 3=8 |
3^2=9 |
4^1=4 |
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6 |
1^ 5=1 |
2^ 4=16 |
3^3=27 |
4^2=16 |
5^1=5 |
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7 |
1^ 6=1 |
2^ 5=32 |
3^4=81 |
4^3=64 |
5^2=25 |
6^1=6 |
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8 |
1^ 7=1 |
2^ 6=64 |
3^5=243 |
4^4=256 |
5^3=125 |
6^2=36 |
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9 |
1^ 8=1 |
2^ 7=128 |
3^6=729 |
4^5=1024 |
5^4=625 |
6^3=216 |
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10 |
1^ 9=1 |
2^ 8=256 |
3^7=2187 |
4^6=4096 |
5^5=3125 |
6^4=1296 |
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11 |
1^10=1 |
2^ 9=512 |
3^8=6561 |
4^7=16384 |
5^6=15625 |
6^5=7776 |
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12 |
1^11=1 |
2^10=1024 |
3^9=19683 |
4^8=65536 |
5^7=78125 |
6^6=46656 |
n=100 の場合をグラフにする。m=24でありπ(100)=25 より1少ない。
最大値の付近は左側の「素数の個数」と右側の「合成数の個数」を分ける山になっている。
nをx軸にとることによって先頭の表を90度回転させれば、次のようなグラフになる。
精度を比較するために対数積分li(n)の値も示している。
nが10,000以下の範囲では、対数積分よりもπ(n)に近い値である。
もう少し詳しい部分的なグラフを示す。
この範囲でのπ(n)との差は次の通り。
mの差は最初マイナスで、次第にプラスになり値が増加する傾向にある。
更に大きな値では、対数積分と差が逆転するようである。
