虚数と素数定理
imaginary number and the Prime Number Theorem
xが小さな値のときπ(x)は虚数単位 i を使用すると、より正確に求められることを示す。
素数定理によりπ(x)をx/ln x で近似できることは有名である。x→∞ のときπ(x)とx/ln x の比率が1となるためである。しかしxが小さな値のときは精度が悪くなる。例えば
π(3)=2 3/ln 3=2.73 , π(2)=1
2/ln 2=2.89
となる。小数の値は途中で丸めた表示をしている。またx=1のときはln 1=0 での割り算となり、都合が悪い。
ここでxの替わりに ix を使用すると見事に解決する。
(for
small x) Re( )は実数部、Im( )は虚数部
例えばx=3のとき 3i/ln
3i=1.28+0.90i であるため 2.18となり2に近い値が求まる。同様に
x=2 は 1.07+0.47i で 1.54 となり、x=1のときも 0.64+0i で
0.64 と値が求まる。
また少し大きな値での精度を比較してもix使用の方が良い。
x使用 x=100 は
21.71 (25-3.29), x=1000 は 144.76
(168-23.24)
ix使用 x=100 は
26.09 (25+1.09), x=1000 は
168.95 (168+ 0.95)
ここでもう一つの式を考える。
(for
small x)
x=1〜100 のグラフは次の通り。この範囲では両者はπ(x)を上下に挟んだ曲線になっている。
余談: 最初の素数分布をより正確に知るために虚数を使用するという考えは、ホーキングが宇宙の初期状態を説明するために時間を虚数としたことにヒントを得ている。素数定理でxを1に近付けて行くと無限大に発散するが、虚数を使用すると発散せず、xが少し大きな値においても上記グラフのように良い分布曲線を得ることができる。
前の式はこの範囲ではπ(x)の中心線を挟んだ曲線である。両式の混在形式はより中心を通ると考えられるのでそれを調べる。 u=(ix+1/ix)/ln ix を考える。
|
x |
π(x) |
Re(u)+Im(u) |
差 |
|
1 |
0 |
0.000 |
0.000 |
|
2 |
1 |
1.152 |
0.152 |
|
3 |
2 |
1.937 |
-0.063 |
|
4 |
2 |
2.526 |
0.526 |
|
5 |
3 |
3.018 |
0.018 |
|
6 |
3 |
3.455 |
0.455 |
|
7 |
4 |
3.856 |
-0.144 |
|
8 |
4 |
4.233 |
0.233 |
|
9 |
4 |
4.591 |
0.591 |
|
10 |
4 |
4.936 |
0.936 |
|
11 |
5 |
5.269 |
0.269 |
|
12 |
5 |
5.592 |
0.592 |
|
13 |
6 |
5.908 |
-0.092 |
|
100 |
25 |
26.084 |
1.084 |
|
1000 |
168 |
168.948 |
0.948 |
xが大きいとその逆数は小さくなり、ix/ln ixの式に近付く。
ix/ln ix の実数部は双子素数の数に近い。
例えば100以下の双子素数は(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73)の8組存在する。それに対して Re(100i/ln 100i)=6.6 である。xが大きな値であっても成り立つようだ。ただし双子素数が無限に多く存在するかどうかは未解決問題である。
|
x |
π2(x) |
Re(ix/ln ix) |
Re/π2(x) |
|
10^1 |
2 |
2.0 |
1.00 |
|
10^2 |
8 |
6.6 |
0.83 |
|
10^3 |
35 |
31.3 |
0.89 |
|
10^4 |
205 |
179.9 |
0.88 |
|
10^5 |
1,224 |
1,163.4 |
0.95 |
|
10^6 |
8,169 |
8,124.7 |
0.99 |
|
10^7 |
58,980 |
59,894.5 |
1.02 |
|
10^8 |
440,312 |
459,580.9 |
1.04 |
|
10^9 |
3,424,506 |
3,636,766.4 |
1.06 |
|
10^10 |
27,412,679 |
29,489,816.2 |
1.08 |
|
10^11 |
224,376,048 |
243,913,581.9 |
1.09 |
|
10^12 |
1,870,585,220 |
2,050,806,632.0 |
1.10 |
|
10^13 |
15,834,664,872 |
17,482,659,857.6 |
1.10 |
|
10^14 |
135,780,321,665 |
150,800,390,271.1 |
1.11 |
|
10^15 |
1,177,209,242,304 |
1,314,040,141,883.8 |
1.12 |
|
10^16 |
10,304,195,697,298 |
11,552,068,354,709.9 |
1.12 |
π2(x)の値は mathworld.wolfram TwinPrimes から引用した。
このような結果になる理由を考える。ln i=iπ/2 としてix/ln ix を具体化すると
であるため
となる。
Im(v)はxが大のとき x/ln x に近くなるが、それよりも小さな値のため、π(x)としては幾分少なめの値となる。
Re(v)はxが大のとき πx/(2(ln x)2) に近くなる。一方で双子素数の数は次の近似式が知られている。
1.3203236316…x/(ln x)2
Re(v)=1.57079632679…x/{(ln x)2+(π/2)2} のため係数が大であるが、分母の(π/2)2の加算効果もあって値が近いようである。係数の比率は1.57079632679/1.3203236316=1.18970… となっている。
従って粗い近似として 
が成り立つ。