素数の値(1)
the Nth prime
素数の平均間隔を使用して素数の値を順番に作り出す近似式を求める。
n番目の素数をPnとする。Pnに対する間隔Pn+1-Pnがわかれば両者の和がPn+1 であるので次の素数が求まる。x=Pn , y=Pn+1-Pn のグラフは次の通り。「素数の間隔(1)」のグラフ(x=Pn+1)より左にずれているので、平均の間隔は
に近いようだ。
もう少し単純な式を考える事もできるが、以下で調べる式の精度が良いものを選んでいる。
次の漸化式で決定されるQnは素数Pnの近似値となる。
( Q1=P1=2 )
実際に生成される値の例は次の通り。x=nに対してy=Qn を示している。
x ln x や x(ln x + lnln x -1) はx=n のときPnの近似値となる代表的な式である。
105の前後は誤差が非常に少ないようだ。
nが10のべき乗の場合の値を表にする。
|
n |
Qn |
Pn |
[Qn]-Pn [round] |
|
10^1 |
28.2 |
29 |
-1 |
|
10^2 |
531.3 |
541 |
-10 |
|
10^3 |
7,911.5 |
7,919 |
-8 |
|
10^4 |
104,748.6 |
104,729 |
20 |
|
10^5 |
1,299,703.2 |
1,299,709 |
-6 |
|
10^6 |
15,483,993.8 |
15,485,863 |
-1,869 |
|
10^7 |
179,431,170.1 |
179,424,673 |
6,497 |
|
10^8 |
2,038,076,485.6 |
2,038,074,743 |
1,743 |