素数の値(2)
the Nth prime
素数の近似値を与える漸化式の誤差を分析し、素数値の分布範囲を考える。
漸化式は次の表現も可能である。
( Q1=P1=2 )
x=n に対する誤差 y=Qn-Pn のグラフを示す。
全くランダムと言うわけではなく、各部分が似たパターンの繰り返しであるようだ。
x=Pn に対する誤差 y=Qn-Pn のグラフは次の通り。
誤差は正負対称で増加していると思われるので、対数 ln(1+|Qn-Pn|) をグラフにする。斜めの直線はy=ln(√x) であり、値はこの範囲に収まっている。
従って誤差は±√Pn の範囲内であると予想できる。
Qnを中心に考えれば、素数の値はその上下±√Qn の範囲に広がって分布していると予想することができる。x=n , y=Qn±√Qn のグラフは次の通りで、素数の値はこの範囲に含まれている。
200番目から250番目の部分を拡大する。
P217=1327 と P218=1361 の差は34であり、この付近では大きなGAPとなっている。P224=1423 は上側の線に接近しているが、Q224=1394.38… であり Q224+√Q224 = 1394.38…+37.34… = 1431.72… 以内に収まっている。両端の部分は中心線Qに近い値が多い。