ゼータ関数の零点の分布
distribution of the Riemann zeta zeros
リーマン・ゼータ関数の零点の分布について調べる。また素数と零点の相互関係についても考える。
素数とゼータ関数の零点は複素数平面で次図の様に分布している。実数部が1の縦線を境界にして右側に素数があり、左側に零点がある。零点は上下対称な位置にも存在し、全体として大きな十字形になっている。
余談: この図を見ると宇宙のビッグバンを連想する。実数軸を時間軸と考え左から見ていくと、次のストーリーとなる。何もない(時間もない?)単調な状態[-∞〜0]から、突然[0〜1]宇宙が誕生し、大爆発が始まった[1〜]。しばらくして[2〜]素粒子(素数に対応)が生成され、時間と共に密度が低下していく(膨張宇宙)。初期宇宙において時間が虚数であったというのも1/2+iTに対応しているようで面白い。「素数の分布(1)」のページの最後で見たように、素数は零点の作り出す波により分布が決定される。素粒子が超弦理論の弦の波(振動)で記述されるのに対応しているようだ。
0に近い順にP1<P2<P3<… そして 0<T1<T2<T3<… とし、零点は虚数部が正の範囲(上側)を考える。ここでは「リーマン予想」が成立する範囲だけを扱う。その範囲では非自明な零点の実数部は1/2であるので ζ(1/2+iTn)=0 となる。
素数はnが大きくなるにつれて密度が減少するのに対して、その反対に
零点はnが大きくなるにつれて密度が増大する。例えば零点の場合は
0〜10 の区間では密度は0.0
10〜20 の区間では密度は0.1
20〜30 の区間では密度は0.2
30〜40 の区間では密度は0.3
40〜50 の区間では密度は0.4
n=10^12+1の値Tn=
267,653,395,648.8475…
の付近では密度は約4
n=10^22 の値Tn=1,370,919,909,931,995,308,226.6275… の付近では密度は約7
となっている。ここでの密度は区間1当りの個数である。
ゼータ関数(と等しい級数)の実際の値による零点の図は次の通り。
図の意味は「級数と乗積 二項係数の級数とゼータ関数」を参照。
x以下の素数Pnの個数をπ(x)とするのと同様に、T以下の零点Tnの個数をN(T)とする。そしてTnやN(T)とnの関係を調べる。
T1
=14.1347… T6 =37.5861…
T11=52.9703… N( 5)=
0
T2 =21.0220… T7
=40.9187… T12=56.4462… N(15)= 1
T3 =25.0108… T8
=43.3270… T13=59.3470… N(35)= 5
T4 =30.4248… T9
=48.0051… T14=60.8317… N(45)= 8
T5 =32.9350… T10=49.7738… T15=65.1125…
N(60)=13
先頭の零点の値は14.135…から始まるが、次のグラフでその理由を説明できる。また続く零点の値も近似できる。
Tnの値
グラフの曲線は y=ln(x!) 厳密には y=ln(Γ(x+1)) である。y=n=1 と曲線の交点のxの値はおよそ2.3であるが、その2π倍は約14.5でT1に近い値になる。一番下のスケールが2π倍したものであるので、これを利用して直接値を求めることができる。n=2のときは約19.9、n=3のときは約24.4でT2とT3に近い値となる。n=12のときは約54.3でT12に近い値となる。T2以降は実際の零点の値よりも小さいようだ。交点の値+1の点を参考のため追加している。
N(T)の値
逆に下のTと曲線の交点から左のnの値を求めるとN(T)になる。例えばT=15の場合は交点のyの値はほぼ1であり、N(15)の値に近い。
式で表現すると 
となる。
余談: 虚数方向は1/2πが係数として使用される(iT/2π)。これは四次元時空の座標が x,y,z,ict と光速度のcを係数として使用することに対応しているようだ。
Tが大のときにN(T)の近似度合いが良いかを次の値を使用して調べる。
T10^20= 15,202,440,115,920,747,268.6290…
T10^21= 144,176,897,509,546,973,538.2912…
T10^22=1,370,919,909,931,995,308,226.6275…
ln Γ(T10^20/2π+1)= 100,000,000,000,000,000,020.1826…
ln Γ(T10^21/2π+1)= 1,000,000,000,000,000,000,021.2056…
ln Γ(T10^22/2π+1)=10,000,000,000,000,000,000,022.8962…
π(x)と比較するとN(T)の精度が非常に良いことがわかる。これは先に行くほど密度が増大することも関係がありそうだ。奇妙なことに真の値との差はおよそ'nの常用対数'となっている。これには理由があるが、とりあえずN(T)を改良した式を示す。
この式を使用すると値はそれぞれ
100,000,000,000,000,000,000.1826…
1,000,000,000,000,000,000,000.2056…
10,000,000,000,000,000,000,000.8962…
であり、殆ど正しい値になる。
常用対数の底10は素数分布のπ(x)の近似式にも登場する数字である。
「素数の分布(1)」のページで紹介したサイトの primzahlmengen にある式は、対数積分より精度の良い式で
の形をしている。
また非自明零点の逆数和の値 Σ1/ρ=1+γ/2-(ln 4π)/2=0.0230957… が (ln 10)/100= 0.0230258… に近いという不思議な関係もある。
上のN(T)を書き直すと 
となる。また級数和であれば
が近似度の良い式である。開始値と終了値がなるべく整数になる数で確認すると
T=747.675 のとき u=118.996, u^(ln 10/10)=3.005 であり
ln 3+ln 4+ … +ln 119=452.33… は N(T)=451に近い値となる。同様に
T=2588.368 のとき ln 4+ln 5+ … +ln 412=2070.80… で N(T)=2070
T=6817.957 のとき ln 5+ln 6+ … +ln 1085=6499.66… で N(T)=6500 である。
π(x)が 1/ln k の和で、N(T)が ln k の和という形でわかるように、素数と零点は極めて対称的な関係にある。密度のように正反対の性質を示すことの原因となっている。言葉で表現すると素数の分布は「対数積分」、零点の分布は「対数の積分」となる。従ってN(T)は u ln u - u の形になる。
概略の形式として素数の値と零点の個数は xln x 、零点の値と素数の個数は x/ln x となる。
なぜ前式で常用対数が現れるのかを考える。N(T)の近似式は理論的に求められている。
Xavier Gourdon と Pascal Sebah のサイト Numbers, constants and computation にある
Distribution of the zeros of the Riemann Zeta function によると
である。Tnをこの逆関数から求めると、ほぼ 
となる。
なぜならばu=n/ln n としたとき
N(T)=u(ln u-1)+7/8=n/ln n(ln(n/ln n)-1)+7/8=n(1-(1+ln(ln n))/ln n)+7/8
であり、nが大のときはN(T)がnに近い値になるからである。
当初の式を次のように変形する。
ln Γ(u+1)
=ln(u*Γ(u))
=ln u+ln Γ(u)
=ln u+(u-1/2)ln u-u+(ln 2π)/2+1/12u+…
=(u+1/2)ln u-u+(ln 2π)/2+1/12u+…
uが大きな値のときを考え、1/12u以下を0とすると
ln Γ(u+1)
=(u+1/2)ln u-u+(ln 2π)/2
=u ln u-u+(ln 2π)/2+(ln u)/2
={ u ln u-u+7/8 }+{ (ln 2π)/2-7/8+(ln u)/2 }
={ u ln u-u+7/8 }+{ 0.0439…+(ln u)/2 }
ここでu=n/ln n とすると
ln Γ(u+1)
={ u ln u-u+7/8 }+{ 0.0439…+(ln (n/ln n))/2 }
={ u ln u-u+7/8 }+{ 0.0439…+(ln n-ln(ln n))/2 }
また log n=(ln n)/(ln 10)=(ln n)/2.30… であるので
ln Γ(u+1) は { u ln u-u+7/8 }+log n に近い値となる。
2種類の式の値を比較する。
|
N(T)の式 |
T10^20 での値 |
T10^21 での値 |
T10^22 での値 |
|
u ln u-u+7/8 |
10^20-1.0264… |
10^21-1.1282… |
10^22-0.5637… |
|
ln u!-log(ln u!) |
10^20+0.1826… |
10^21+0.2056… |
10^22+0.8962… |
上記範囲では ln u!-log(ln u!) の式が u ln u-u+7/8 と同等以上の精度の式であるようだ。