素数の間隔(2)
prime gaps
広い範囲で素数の間隔の規則性を調べる。ここではマンデルブロー集合図との関係を示す。
値が108までの素数について、その間隔をグラフにすると次のようになる。黒い部分は小円の密度が大きいことを意味する。
マンデルブロー集合図で近いと思われる
の四角部分を90度回転させた図との関係を調べる。
黒と白のコントラストの強い部分を残し、図を合成する。境目の部分は図形処理の過程で少し情報が落ちている(透明になっている)。
対応関係を表にする。
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領域 |
MB集合図の特徴 |
素数の間隔 |
間隔のグラフ |
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C |
MB集合に属し模様なし |
出現しない間隔 |
白い領域(密度ゼロ) |
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B |
細かい複雑な模様 |
出現頻度の少ない間隔 |
中間領域(密度小) |
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A |
大きな縞模様 |
出現頻度の多い間隔 |
黒い領域(密度大) |
値が1016までの素数の、「最初に出現する間隔」は次の通り。この曲線は
Gaps between consecutive primes にある曲線(縦軸と横軸が逆)と同様であり、放物線に近い。
グラフは First occurrence prime gaps の数値を使用して作成した。
円に近くなるような縦横比にしている。
前と同じ図と合成すると
完全ではないが、大きな円の下側の連続する小円の周りを取り囲むようにも見える。
グラフの縦横比を変化させると、もう少し良い一致が得られる可能性がある。