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説明: hrb

二項係数の級数とゼータ関数

 

数多くの興味深い値になる二項係数を使用した級数を調べる。この級数は階乗やゼータ関数と密接な関係がある。また二項係数と図形的な操作の意外な関係や、ゼータ関数値と二項分布の関係についても示す。

(n-1)nを二項級数に展開した式と、njをjnに置き換えた級数を考える。n=4の例では

       (4-1)4=1*40-4*41+6*42-4*43+1*44=1-16+96-256+256=81=3*3*3*3 に対し

              1*04-4*14+6*24-4*34+1*44=0- 4+96-324+256=24=1*2*3*4 となる。

 

n=3の場合は  -1*03+3*13-3*23+1*33=-0+3-24+27=6=1*2*3

n=2の場合は   1*02-2*12+1*22     = 0-2+4    =2=1*2

n=1の場合は  -1*01+1*11          =-0+1      =1=1

一般にnの階乗 n! になると推測できる。

 

n=4に戻ってjnのjを前後の整数にずらしても

  1(-2)4-4(-1)4+6( 0)4-4( 1)4+1( 2)4=16-  4+   0-   4+  16=24

  1(-1)4-4( 0)4+6( 1)4-4( 2)4+1( 3)4= 1-  0+   6-  64+  81=24

  1( 0)4-4( 1)4+6( 2)4-4( 3)4+1( 4)4= 0-  4+  96- 324+ 256=24

  1( 1)4-4( 2)4+6( 3)4-4( 4)4+1( 5)4= 1- 64+ 486-1024+ 625=24

  1( 2)4-4( 3)4+6( 4)4-4( 5)4+1( 6)4=16-324+1536-2500+1296=24

となり、4の階乗の値は不変である。

 

増減する値が実数aの場合をn=2とn=3の例で確認する。

  1*02-2*12+1*22=0-2+4=2   で+aすると

  1(0+a)2-2(1+a)2+1(2+a)2=1a2-2(1+2a+a2)+1(4+4a+a2)=2

となりaは消去されて2!は不変である。同様に次式で3!は不変である。

 -1(0+a)3+3(1+a)3-3(2+a)3+1(3+a)3

=-a3+3(1+3a+3a2+a3)-3(8+12a+6a2+a3)+1(27+27a+9a2+a3)=6

 

従って任意定数aを含む次の式が成り立つと推測できる。

 

以上の推測は正しい事が知られている。mathworldにある BinomialSums の式(30)を参照。

 

(j+a)kでk=0,1,2,3,…,n-1 の場合は値が0になると推測できる。例えばn=4では

  1( 0)3-4( 1)3+6( 2)3-4( 3)3+1( 4)3= 0-  4+ 48-108+ 64=0

  1( 0)2-4( 1)2+6( 2)2-4( 3)2+1( 4)2= 0-  4+ 24- 36+ 16=0

  1( 1)1-4( 2)1+6( 3)1-4( 4)1+1( 5)1= 1-  8+ 18- 16+  5=0

  1( 2)3-4( 3)3+6( 4)3-4( 5)3+1( 6)3= 8-108+384-500+216=0

  1( 2)2-4( 3)2+6( 4)2-4( 5)2+1( 6)2= 4- 36+ 96-100+ 36=0

  1(-1)1-4( 0)1+6( 1)1-4( 2)1+1( 3)1=-1-  0+  6-  8+  3=0

説明: hrb

上記の性質は(ex-1)nの係数で説明できる。n=4の例では

(ex-1)4 = 1e4x-4e3x+6e2x-4e1x+1e0x

        = 1(40x0/0!+41x1/1!+42x2/2!+43x3/3!+44x4/4!+…)

         -4(30x0/0!+31x1/1!+32x2/2!+33x3/3!+34x4/4!+…)

         +6(20x0/0!+21x1/1!+22x2/2!+23x3/3!+24x4/4!+…)

         -4(10x0/0!+11x1/1!+12x2/2!+13x3/3!+14x4/4!+…)

         +1(00x0/0!+01x1/1!+02x2/2!+03x3/3!+04x4/4!+…)

 

一方で (ex-1)4 = (x1/1!+x2/2!+…)4 = (x+x2/2+…)4 の最小次数項はx4であるので

x0の係数比較より  1(40)-4(30)+6(20)-4(10)+1(00) = 0

x1の係数比較より  1(41)-4(31)+6(21)-4(11)+1(01) = 0

x2の係数比較より  1(42)-4(32)+6(22)-4(12)+1(02) = 0

x3の係数比較より  1(43)-4(33)+6(23)-4(13)+1(03) = 0

x4の係数比較より  1(44)-4(34)+6(24)-4(14)+1(04) = 4!

次に eax 倍した式を考える。

(ex-1)4eax = 1e(4+a)x-4e(3+a)x+6e(2+a)x-4e(1+a)x+1e(0+a)x

           = 1((4+a)0x0/0!+(4+a)1x1/1!+(4+a)2x2/2!+(4+a)3x3/3!+(4+a)4x4/4!+…)

            -4((3+a)0x0/0!+(3+a)1x1/1!+(3+a)2x2/2!+(3+a)3x3/3!+(3+a)4x4/4!+…)

            +6((2+a)0x0/0!+(2+a)1x1/1!+(2+a)2x2/2!+(2+a)3x3/3!+(2+a)4x4/4!+…)

            -4((1+a)0x0/0!+(1+a)1x1/1!+(1+a)2x2/2!+(1+a)3x3/3!+(1+a)4x4/4!+…)

            +1((0+a)0x0/0!+(0+a)1x1/1!+(0+a)2x2/2!+(0+a)3x3/3!+(0+a)4x4/4!+…)

 

(ex-1)4eax = (x+x2/2+…)4eax = (x4+…)(1+ax+a2x2/2+…) の最小次数項はx4と不変なため、+aのシフトがあっても値は同じになる。

 

説明: hrb

任意定数aを含む二項係数と逆数の式。

 

1/a-4/(a+1)+6/(a+2)-4/(a+3)+1/(a+4)=4!/{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}

1/a-3/(a+1)+3/(a+2)-1/(a+3)        =3!/{a(a+1)(a+2)(a+3)}

1/a-2/(a+1)+1/(a+2)                =2!/{a(a+1)(a+2)}

1/a-1/(a+1)                        =1!/{a(a+1)}

 

これらの式は次の例を一般化したものである。

3!/(2*3*4*5)=2!{1/(2*3*4)-1/(3*4*5)}    =1!{(1/(2*3)-1/(3*4))-(1/(3*4)-1/(4*5))}

            =1!{1/(2*3)-2/(3*4)+1/(4*5)}=0!{(1/2-1/3)-(2/3-2/4)+(1/4-1/5)}

            =   1/2-3/3+3/4-1/5

 

a=1の場合の式とその加算より、自然数の逆数とその和は

1/1-3/2+3/3-1/4=1/4             4/1-6/2+4/3-1/4=1/1+1/2+1/3+1/4=H4

1/1-2/2+1/3    =1/3             3/1-3/2+1/3    =1/1+1/2+1/3    =H3

1/1-1/2        =1/2             2/1-1/2        =1/1+1/2        =H2

1/1            =1/1             1/1            =1/1            =H1

 

平方数の逆数とその和は

1H1/1-3H2/2+3H3/3-1H4/4=1/42     4H1/1-6H2/2+4H3/3-1H4/4=1/12+1/22+1/32+1/42

1H1/1-2H2/2+1H3/3      =1/32     3H1/1-3H2/2+1H3/3      =1/12+1/22+1/32

1H1/1-1H2/2            =1/22     2H1/1-1H2/2            =1/12+1/22

1H1/1                  =1/12     1H1/1                  =1/12

説明: hrb

  のm=1,2,3,4,… における値を調べる。

 

 

 m=1

 m=2

 m=3

 m=4

 m=5

 m=6

 m=7

 m=8

合計

n=0

 1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  1

n=1

 1

-1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  0

n=2

 1

-3

 2

 0

 0

 0

 0

 0

  0

n=3

 1

-7

 12

-6

 0

 0

 0

 0

  0

n=4

 1

-15

 50

-60

 24

 0

 0

 0

  0

n=5

 1

-31

 180

-390

 360

-120

 0

 0

  0

n=6

 1

-63

 602

-2100

 3360

-2520

 720

 0

  0

 

絶対値で考えるとm=n+1の場合はn!、m=nの場合は(n+1)!/2であり、m=2の場合は 2n-1 である。mがn+2以上では全て0となっている。例えばn=3,m=4で

  1*13-3*23+3*33-1*43     =1-24+81-64=-6       であるが、m=5では

  1*13-4*23+6*33-4*43+1*53=1-32+162-256+125=0  となる。

 

n=0以外は各行の合計が0である。

この値は次ページで詳しく扱う。

上記表の係数を (m-1)! で割ると

 

 m=1

 m=2

 m=3

 m=4

 m=5

 m=6

 m=7

 m=8

合計

n=0

 1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  1

n=1

 1

-1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  0

n=2

 1

-3

 1

 0

 0

 0

 0

 0

 -1

n=3

 1

-7

 6

-1

 0

 0

 0

 0

 -1

n=4

 1

-15

 25

-10

 1

 0

 0

 0

  2

n=5

 1

-31

 90

-65

 15

-1

 0

 0

  9

n=6

 1

-63

 301

-350

 140

-21

 1

 0

  9

絶対値は「第2種スターリング数」になる。合計は eΣk=0∞(-1)k-1kn+1/k! の値に等しい。

この値は次ページで扱う。

 

係数を 2n+1-m 倍したもの 2n+1-mΣj=1m (-1)j-1(j-1m-1)jn は

 

 m=1

 m=2

 m=3

 m=4

 m=5

 m=6

 m=7

 m=8

合計

n=0

 1*1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  1

n=1

 1*2

-1*1

 0

 0

 0

 0

 0

 0

  1

n=2

 1*4

-3*2

 2*1

 0

 0

 0

 0

 0

  0

n=3

 1*8

-7*4

 12*2

-6*1

 0

 0

 0

 0

 -2

n=4

 1*16

-15*8

 50*4

-60*2

 24*1

 0

 0

 0

  0

n=5

 1*32

-31*16

 180*8

-390*4

 360*2

-120*1

 0

 0

 16

合計の絶対値は タンジェント数 になる。

 

ベルヌーイ数はk=n+1として上記の合計を(-1)kk/(2k(2k-1))倍したものである。例えば

B4=(-2)4/(24(24-1))=-1/30   B5=-(0)5/(25(25-1))=0   B6=(16)6/(26(26-1))=1/42

つまり

    あるいは

     (k=1,2,3,…)

ゼータ関数とベルヌーイ数の関係は ζ(1-k)=(-1)k+1Bk/k   (k=1,2,3,…) であるので

この式はk=1,2,3,…だけではなく、k=-1,-2,-3,…でも成り立っている。例えばk=-1の場合

ζ(2)=2{(1/12)/2+(1/12-1/22)/4+(1/12-2/22+1/32)/8+(1/12-3/22+3/32-1/42)/16+…}=1.644934…

 

更に整数以外でも成り立っている。1-k=s とすると

この式はmathworldの Riemann Zeta Function によるとHasseにより証明されている。

 

m=0,j=0 から開始する式は

説明: hrb

この級数の値が実際にゼータ関数値となる事を、sが1未満の整数や実数の例で示す。

 

ζ(0) "1+1+1+1+ …" の値は以下の通り-1/2 が早い時点で求まる。m=1から開始して

mが1まで {(1*1)/2}/(1-2)=(1/2)/(-1)=-1/2

mが2まで {(1*1)/2+(1*1-1*1)/4}/(1-2)=(1/2+ 0 /4)/(-1)=-1/2

 

ζ(-1) "1+2+3+4+ …" の値-1/12 も同様である。

mが2まで {(1*1)/2+(1*1-1*2)/4}/(1-22)=(1/2-1/4)/(-3)=-1/12

mが3まで {(1*1)/2+(1*1-1*2)/4+(1*1-2*2+1*3)/8}/(1-22)=(1/2-1/4+ 0 /8)/(-3)=-1/12

 

ζ(-2) "12+22+32+42+ …" の値は0で、-2は自明な零点である。

mが3まで {(1*12)/2+(1*12-1*22)/4+(1*12-2*22+1*32)/8}/(1-23)=(1/2-3/4+2/8)/(-7)= 0

mが4まで {(1*12)/2+(1*12-1*22)/4+(1*12-2*22+1*32)/8+(1*12-3*22+3*32-1*42)/16}/(-7)

         =(1/2-3/4+2/8+ 0 /16)/(-7)=0

 

ζ(-3) "13+23+33+43+ …" の値1/120は

mが4まで{(1*13)/2+(1*13-1*23)/4+(1*13-2*23+1*33)/8+(1*13-3*23+3*33-1*43)/16}/(1-24)

         =(1/2-7/4+12/8-6/16)/(-15)=1/120

以下同様。

ζ(1/2)=-1.4603545088095… のm=4,5までにおける式とその値は次の通り。

mが4まで {(15/√1)-(11/√2)+( 5/√3)-(1/√4)}/{24(1-√2)}=-1.44982…

mが5まで {(31/√1)-(26/√2)+(16/√3)-(6/√4)+(1/√5)}/{25(1-√2)}=-1.45607…

mが50までの値は -1.4603545088095868016… となる。

 

参考:ζ(1/2)の値は {1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√n}-√{2(2n+1)+1/(6(2n+1))} に近い。

     n=4    の場合は   {1/√1+1/√2+1/√3+1/√4}-√{2*9+1/(6*9)}=-1.4603655…

     n=10^6 の場合は   -1.460354508809586812889501…

 

j-s/2mでまとめた式は係数の差(太字)が二項係数になる。

m=4 の場合   15  4  11   6   5   4  1

m=5 の場合   31  5  26  10  16  10  6  5  1

左は「ゼータ関数値を生成する三角形」で、左端の数字は2m-1。

ζ(-3)=(15*13-11*23+ 5*33-1*43)/(24(1-24))=(15-88+135-64)/(-16*15)=1/120

ζ(-2)=(15*12-11*22+ 5*32-1*42)/(24(1-23))=(15-44+45-16)/(-16*7)= 0

ζ(-1)=(15*11-11*21+ 5*31-1*41)/(24(1-22))=(15-22+15-4)/(-16*3)=-1/12

ζ( 0)=(15*10-11*20+ 5*30-1*40)/(24(1-21))=(15-11+5-1)/(-16*1)=-1/2

 

ζ(-4)=(31*14-26*24+16*34-6*44+1*54)/(25(1-25))=(31-416+1296-1536+625)/(-32*31)= 0

ζ(-3)=(31*13-26*23+16*33-6*43+1*53)/(25(1-24))=(31-208+432-384+125)/(-32*15)=1/120

ζ(-2)=(31*12-26*22+16*32-6*42+1*52)/(25(1-23))=(31-104+144-96+25)/(-32*7)= 0

ζ(-1)=(31*11-26*21+16*31-6*41+1*51)/(25(1-22))=(31-52+48-24+5)/(-32*3)=-1/12

ζ( 0)=(31*10-26*20+16*30-6*40+1*50)/(25(1-21))=(31-26+16-6+1)/(-32*1)=-1/2

 

s=-2と2における式を比較すると、mが5までの場合

ζ(-2)は  (31*12-26*22+16*32-6*42+1*52)/(25(1-23 ))=0

ζ( 2)は  (31/12-26/22+16/32-6/42+1/52)/(25(1-2-1))=1.6214…

mが50までの値は 1.64493406684822628… であり、本来の 1/12+1/22+…+1/502=1.6251… よりはるかに速く正しい値を求めることができる。

 

参考:-(4n+1)におけるゼータ関数の値は、次の級数と等しい事がわかっている。

     ζ(-s)=-2Σk=1∞ ks/(e2πk-1)    (s=4n+1,n=1,2,3,…)    例えば

     ζ(-5)=-2{15/(e2π-1) + 25/(e4π-1) + 35/(e6π-1) + …}=-1/252

    

 

 

 の級数はsが複素数であっても有効である。ゼータ関数の非自明な零点 1/2+i14.1347251… 等での値をこの級数で計算すると確かに0となる。

 

左は複素数平面における級数の絶対値を色に変換した等高線図で、臨界帯(critical strip)を中心に示している。実数、虚数共に0.1の刻み、拡大図は0.02の刻みで色の点を構成している。

 

実数が1/2で虚数が14,21,25の付近に丸い模様があり、非自明な零点の存在に対応している。s=1の付近は細かな模様になっていて、大きな値になることを示している。

説明: hrb

「ゼータ関数値を生成する三角形」の構造や性質を調べる。ここでは左端を1とする。

この三角形は2mの数字を基本として構成されている。右端の数字は2m-1であり、中央から見て対称な位置にある数字の和は2mである。例えば

1+15 = 5+11 = 16 = 24 ,  1+31 = 6+26 = 16+16 = 32 = 25

また中央の数字、数字の平均、右端から交互に正負とした場合の合計は2m-1である。例えば

(1+6+16+26+31)/5 = 16 = 24 ,  1-6+16-26+31 = 16 = 24

 

s=-4,m=5 の例  ζ(-4)=(1*54-6*44+16*34-26*24+31*14)/(25(1-21+4))=0

    

2mで割った値は上図の様に中心が1/2で、0から1の範囲に収まる。この値が右から

1-s,-2-s,3-s,-4-s,5-s,…  の係数になる。

 

0,1の両端と各点で区切られる線分の長さは、上から 1, 1:1, 1:2:1, 1:3:3:1, … と二項係数の比率になっている。パスカルの三角形は下が拡大していくが、幅が1の線分に固定して線分の長さの比率で二項係数を表したものが上の図である。二項係数を表す(パスカルの)三角形に対して「二項比率を表す四角形」と呼べる。

左はmが50までの図形。1/2付近では点がほぼ均一に並んでいる。両端は密であるが、対数表示をするとほぼ均一に並んでいる。

 

「ゼータ関数値を生成する四角形」でもあるこの図形は、m-1の場合のm個の線分を2等分する点で作られる新しいm+1個の線分により作成されていく。二項係数の累積値が関係する複雑な係数であるが、図形的には2等分という単純な操作の繰り返しであった。

実際のゼータ関数値は 1-21-s で割ったものになる。sが実数の場合のグラフを示す。

 

 

交代級数であるη関数とζ関数には η(s)=(1-21-s)ζ(s) の関係がある。

η(s) = 1/1s-1/2s+1/3s-1/4s+… = (1-21-s)(1/1s+1/2s+1/3s+1/4s+…)

21-s=2/2s の分母で偶数の項を作り、分子の2で"+"を"-"に変更している。

説明: hrb

2等分の原理のみによるゼータ関数値の計算プログラムと実行結果の例。分数による計算で、確認と説明用のプログラムである。

 

220   dim C(8,9):C(0,1)=0:C(0,0)=1:S=-3
310   for M=1 to 8
320     C(M,M+1)=0:C(M,0)=1:A=0
330     for J=1 to M
340       C(M,J)=(C(M-1,J)+C(M-1,J-1))//2
350       A+=(-1)^(J-1)*C(M,J)//J^S
360     next
370     print A//(1-2^(1-S));
380   next

-1//30  1//12 -1//60  1//120  1//120  1//120  1//120  1//120

係数部分を式で表現すると

C0,1=0 ,   C0,0=1

C1,2=0 ,   C1,1=(C0,1+C0,0)/2 ,   C1,0=1

C2,3=0 ,   C2,2=(C1,2+C1,1)/2 ,   C2,1=(C1,1+C1,0)/2 ,   C2,0=1

            :

Cm,m+1=0 ,   …   ,   Cm,j=(Cm-1,j+Cm-1,j-1)/2 ,   …   ,   Cm,0=1    (j=m,…,3,2,1)

 

配列を再利用する効率的なプログラム。配列が0で初期値化されることを利用している。

 

220   M=100:dim C(M):C(0)=1:Z=0:S=2
310   for K=1 to M
320     for J=K to 1 step -1
330       C(J)=(C(J)+C(J-1))/2
340     next
350   next
360   for J=1 to M
370     Z+=(-1)^(J-1)*C(J)/J^S
380   next
390   Z/=1-2^(1-S):print Z

s=2 の場合の値は  1.644934066848226436472415166645944636…  とπ2/6 に近い。
s=1/2+14.134725141734693790457251983562470270784257115699243 i  の場合の値は

0.00000000000000000000000001482…+0.00000000000000000000000003217…i  と0に近い。

精度良く値を求めるためのプログラム例。先頭で小数部と変数の長さを調整している。整数点における値で精度を確認する。

 

220   point -35:word -140:M=545:dim C(M):C(0)=1
310   for K=1 to M:for J=K to 1 step -1:C(J)=(C(J)+C(J-1))/2:next:next
330   for S=-3 to 3
360     Z=0:for J=1 to M:Z+=(-1)^(J-1)*C(J)/J^S:next
380     if S<>1 then Z/=1-2^(1-S):print S;Z
390   next

-3  0.00833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
27316715160636
-2  0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000278182849
-1 -0.08333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333332859
 0 -0.5
 2  1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040
32008738336289006197587053040043189623371906796287246870050077879351029463308662
76831733309148
 3  1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578
63130901864558736093352581461991577952607194184919959986732832137763968372079001
61453941782426

 

1を少し離れた点での値にはオイラーの定数が現れる。s=1+i/10^40 での値を計算すると

 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766
46709853988…                            -99999999999999999999999999999999999999
99.99999999999999999999999999999999999999999271841545163232751394136241250986808
62263661665…i    (関数の真の値との比較ではなく、オイラーの定数との一致部分)

ゼータ関数値のための係数計算は (a+b)/2 の繰り返しである!

説明: hrb

ゼータ関数の級数を二項分布の期待値の式として扱い、確率的に値を求める。表と裏の出る確率がそれぞれ1/2であるコインをm回投げ、表が出る毎に1-s,-2-s,3-s,-4-s,… を加算し1-21-s で割る。

例えばs=-1の場合1-21-sは-3であるので最初から割ることにすると、コインを10回投げ1回目の表で1/3点を渡し、2回目の表では2/3点を得、3回目では3/3点を渡し、10回目では10/3点を得る。この賭けで期待できる点数がζ(-1)に近い。

 

プログラムでは乱数の値により表裏を決定し、試行を何回も繰り返して平均値を求める。

220   point -2:N=10^8
310   for S=-2 to 3 :Z=0
320     for K=1 to N :V=0:J=0:F=-1
330       for M=1 to 10
340         if 1/2<rnd then F=-F:J+=1:V+=F/J^S      乱数の範囲は 0<=rnd<1
350       next
360       Z+=V
370     next
380     if S<>1 then Z/=N*(1-2^(1-S)):print S,Z
390   next

 S        Z (N=10^8)        Z (N=10^4)
-2       0.000456930      -0.023814307
-1      -0.083318720      -0.084566666
 0      -0.500019949      -0.495300000
 2       1.644430376       1.643836431
 3       1.201443254       1.201829956

s=1+i/10^10 の場合を求めると、point -5:N=10^6 の指定で

0.57715… -9996912220.35071…i  となる。

 

互いに公平な期待値を望むならば投げる回数を多くし、sの値としてゼータ関数の零点を選ぶ必要がある。

ζ(-3)の値を4回の試行で理論的に計算する例を示す。コインの表を1、裏を0と表す。

 

1,2,3,4回  式

 値

1,2,3,4回  式

 値

0 0 0 0   

  0

1 0 0 0    13

  1

0 0 0 1    13

  1

1 0 0 1    13-23

 -7

0 0 1 0    13

  1

1 0 1 0    13-23

 -7

0 0 1 1    13-23

 -7

1 0 1 1    13-23+33

 20

0 1 0 0    13

  1

1 1 0 0    13-23

 -7

0 1 0 1    13-23

 -7

1 1 0 1    13-23+33

 20

0 1 1 0    13-23

 -7

1 1 1 0    13-23+33

 20

0 1 1 1    13-23+33

 20

1 1 1 1    13-23+33-43

-44

 

値の合計は-2であるので  η(-3) = (-2)/24 = -1/8

従って ζ(-3) = η(-3)/(1-21+3) = (-1/8)/(-15) = 1/120

説明: hrb

表計算ソフトによりゼータ関数値を求める。Excelにある二項分布の関数 BINOMDIST を利用する。15回の試行でsが実数の場合の例は下表の通り。

1列目の値をjとして2列目の式を =BINOMDIST(15-j,15,1/2,1) とする。引数は左から成功数、試行回数、成功率で、最後の1で累積確率を指定する。3列目以降は2列目の累積確率と (-1)j-1/js の積とする。各行の合計がη(s)であり、それからζ(s)を求めることができる。

 

 

 

真空中に置いた平行な金属板が引き合うカシミール効果においては 13+23+33+… の値が現れる。無限大に発散する値(Σk=1∞1/k-3)を有限値(ζ(-3)=1/120)にする方法は「繰り込み」と呼ばれている。

 

自然がゼータ関数の値を計算しているのは不思議であるが、もし二項分布の期待値を示すならば実現可能となる。

その後(2008年5月)負の奇数ゼータ関数値は、タンジェント数を通じてより単純な方法でも計算できる事がわかった。「ζ(k)と母関数　オイラー数とタンジェント数(2)」を参照。

 

例えばζ(-3)の値はT3を24(24-1)で割った値に等しい。T3の値は1から始まる3個(2歩)のランダムウォーク整数の積の期待値で求まる。

 

1,2歩   式

 値

+ +     ( 1)( 2)( 3)

  6

+ -     ( 1)( 2)( 1)

  2

- +     ( 1)( 0)( 1)

  0

- -     ( 1)( 0)(-1)

  0

 

値の合計は8であるので  T3 = 8/4 = 2

ζ(-3) = T3/{24(24-1)} = 2/(16*15) = 1/120

説明: hrb

ゼータ関数はこれまで

ζ(s) = {Σm=1∞2-mΣj=1m(-1)j-1(j-1m-1)j-s}/(1-21-s)

の式を使用してきたが、次式のように簡単化できる。

ζ(s) = {Σm=1∞2-(m+1)Σj=1m(-1)j-1(jm)j-s}/(1-21-s)

 

以下は Σm=1∞2-(m+1)Σj=1m(-1)j-1(jm)j-s と Σm=1∞2-mΣj=1m(-1)j-1(j-1m-1)j-s が等しいことを示す。

 (2-1){Σm=1∞2-(m+1)Σj=1m(-1)j-1(jm)j-s}

={Σm=1∞2-mΣj=1m(-1)j-1(jm)j-s} - {Σm=1∞2-(m+1)Σj=1m(-1)j-1(jm)j-s}

={1-s/2+Σm=2∞2-m Σj=1m  (-1)j-1(jm)j-s}-{Σm=2∞2-m Σj=1m-1(-1)j-1(jm-1)j-s}

= 1-s/2+Σm=2∞2-m{Σj=1m  (-1)j-1(jm)j-s - Σj=1m-1(-1)j-1(jm-1)j-s}

= 1-s/2+Σm=2∞2-m{Σj=1m-1(-1)j-1((jm)-(jm-1))j-s + (-1)m-1m-s}

= 1-s/2+Σm=2∞2-m{Σj=1m-1(-1)j-1  (j-1m-1)   j-s + (-1)m-1m-s}

= 1-s/2+Σm=2∞2-m{Σj=1m  (-1)j-1(j-1m-1)j-s}

=       Σm=1∞2-m{Σj=1m  (-1)j-1(j-1m-1)j-s}

従ってゼータ関数の簡潔な級数は

  あるいは 

 

例えばs=-3での値は

ζ(-3)={-1*13/2+(-2*13+1*23)/4+(-3*13+3*23-1*33)/8+0/16+…}/(25-2)

     =(-1/2+6/4-6/8)/30=(1/4)/30=1/120

 

ζ(-3)=(-11*13+ 5*23-1*33)/(23(25-2))=(-11+40-27)/(8*30)=2/240=1/120

 

説明: hrb

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