整数の積と円周率
円周率を奇数で構成する次の級数は有名である。
同様に円周率を奇数で構成する乗積が存在する。
ここでは自然数、奇数、偶数等で構成される乗積の値を調べる。
そのために通常とは少し異なるcos関数の無限乗積を利用する。
よく知られた Γ(y)Γ(1-y)=π/sin(πy) において y=1/2+x とすれば
Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)=π/sin(π/2+πx)=π/cos(πx) となる。
次のガンマ関数の定義を使用すると
従って
x=0 のとき次のウォリスの公式になる。
偶数で統一すると
またkを整数とすると
ウォリスの公式から
奇数 
偶数 
この両式より
自然数 
'1' を除く数列であっても簡単に表現するために自然数や奇数と呼ぶ場合がある。
x=1/4 のとき
これを変形すると、奇数で符号が交代する次の乗積の値を求めることができる。
奇数 
奇数 
Catalanによる乗積等を利用すると e も奇数の乗積で表現できる。
またx=2 のとき
従って
偶数 
同様な方法で
偶数 
x=1/3 のときの値から次の式を導くことができる。
6倍数 
以上の値を用いて、奇数の逆数で構成される代表的な級数を乗積に変形することができる。
