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素数の積と円周率・ゼータ関数

 

円周率の二乗を自然数で構成する次の級数は有名である。

同様に円周率の二乗を素数で構成する乗積が存在する。

ここでは素数で構成される乗積の値を調べる。

 

後半では奇数の場合も含めて、ゼータ関数の値が素数の積を使用して ζ(k)=cπk の形で表わせることを示す。

 


重要な役割を果たすのがオイラー積である。

  または      p2k - 1=(pk - 1)(pk + 1) を利用すると

  

 

ζ(2)=π2/6, ζ(4)=π4/90, ζ(6)=π6/945  より

素数   

素数   

素数   

素数   

最初の 6/π2 4n+3型の素数(3,7,11,19,23,)の符号を反転した次の値に分解できる。

素数   

素数   

 

自然数 (1-1/k2) の積は1/2であるので、これを素数 (1-1/p2) の積で割れば

合成数 

これを偶数 (1-1/(2k)2) の積2/π で割り、(1-1/22)を補正すれば

        奇数の合成数

 

偶数のゼータ関数の値から導かれる積は、円周率で表現できる。


k=3 の場合はζ(3)の値を使用する必要がある。

素数   

素数   

これは逆にζ(3)を表す式と考えることができる。以降はゼータ関数の値を素数の積等で表す式を求める。

この素数部分を展開すると1+1/2^3+1/3^3+1/5^3+1/6^3+1/7^3+1/10^3+… となる。ここには自然数から平方因数(4,8,9,12,16,)を除いた数字が出現している。つまり

   これよりζ(3)を求めると

   平方因数

 

一般にζ(k)を平方因数で表すと

k=2,3,4,5…で


次に自然数ζ(k)πkの倍数として求める。先ずk=2,3,4,5,… を考える。

      の積は 

従って    つまり

ζ(k)=cπ^k  の一般式でcはベルヌーイ数、素数の無限乗積を含む

この式はk=1においても成立する。これを負のゼータ値で表現すると

となる。具体的には

1/2()があるためπkの係数は無理数と思えるが、kが偶数の場合は(下記を参照)

k=2 1/90*5/2=1/36=1/6^2

k=4 1/9450*7/6=1/8100=1/90^2

k=6 691/638512875*715/691=1/893025=1/945^2

であり、√の中は有理数の平方数となる。つまり係数は有理数である。

kが奇数の場合はこうはならない様に思えるが証明方法は?



素数の積の値を改めて求めると

 

一般に k=2,3,4,5,… で

特に偶数の場合は

8 のとき  7293/7234 10 のとき  524875/523833  となる。

 

参考:mathworld.wolframのRiemann Zeta Function  によると

ω(n) distinct prime factors と呼ばれ、nを構成する異なる素数の個数である。



k=1 のときに発散することは容易に予想できるので、その途中の有限積の値を調べる。(2003/09/22)

メルテンスの定理    (γはオイラーの定数)を利用して

      より

    従ってn番目の素数までの積は

n=10^3のとき  積は 155.797822  右辺の値は 155.410038  最後の素数は 7,919

n=10^6のとき  積は 528.569709  右辺の値は 528.562097  最後の素数は 15,485,863

 

メルテンスの定理は  mathworld.wolframのPrime Products  を参照。

またそこではk=2のときの素数の積が"amazing infinite product formulas for primes"として紹介されている。


k奇数の場合の ζ(k)=cπk  の別表現を調べる。(2003/10/24)

 

DirichletL関数  L(s)=1-1/3s+1/5s-1/7s+  はオイラー数E2kを使用して

L(2k+1)=(-1)kE2kπ2k+1/(22k+2(2k)!)  と表せる。E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,…である。

ここで q4n+1型の素数、r4n+3型の素数 とすると

ζ(2k+1)=L(2k+1)/(1-2-2k-1) * Π(1+r-2k-1)/(1-r-2k-1)

以上は  Some Constants from Number theory  "4  Riemann zeta prime modulo functions"を参照。

従ってL関数部分を消去すると

  r4n+3型の素数

例えば

これは以前にも発表されているようだ。最初は誰かはっきりしないが、例えばWalterの情報がある。



以下はこれを利用して他の式を導く。

良く知られた次のオイラー積と組み合わせると

  4n+3型の素数は'+'

となり、ζ(3)π3 は深い関係にあることがわかる。

 

参考: オイラーによる次の式があり、上の方でも使用している。

  

      また偶数べき乗の同様な形式の積は、次のL関数値になる。

     カタラン定数

  

 

以前求めた式    と組み合わせると、ベルヌーイ数とオイラー数が同時に出現する式になる。

  q4n+1型の素数

タンジェント数で表せば

例えば

 

これらの式から素数と円周率とゼータ関数値が深い関係にあることを改めて感じる。



(2003/10/26)

ゼータ関数の特殊値は三角関数の級数展開の係数で、より簡単に表現できることがわかった。

ある関数f(x)のマクローリン級数のx^mの係数を Cf(m) とすると

  r4n+3型の素数

  q4n+1型の素数

  q4n+1型の素数


(2008/11/14)

4n+1型の素数式    と

4n+3型の素数式    の積は

q+1=4n+2, r+1=4n+4 でありi^2=-1, i^4=1 であることを利用すると

  と表すことができる。

 

例えば

                  


(2003/10/26)

自然数におけるゼータ関数の値を偶数、奇数の区別なく統一的に表現できる。偶数の場合はベルヌーイ数を使用して表現できるため、それをある意味で拡張した数で表現することになる。ただしその数は奇数の場合は簡単な有理数ではなく、無理数かも知れない。

 であるので、k=1,2,3,4,5,…において

 となるようにSkを定義し、その値を求める。

 とするとき  を利用すると

  従って    ただし分母は二項係数である。


一般的なSkの値を求めたので、他の表現を調べる。

偶数の場合、定義に戻ると S2k=|B2k| である。

奇数の場合、P1=∞ となるため S1= である。一般的に

  r4n+3型の素数

  q4n+1型の素数

 

具体的には

 ζ(2)= S2π2ζ(3)=2S3π3/3 ,  ζ(4)=S4π4/3 ,  ζ(5)=2S5π5/15 ,

 ζ(6)=2S6π6/45 ,  ζ(7)=4S7π7/315 , 

であり、統一的に扱うことができる。5 の場合をより具体的に示すと S5=0.0254132611… で

 ζ(5)=2S5π5/15=2(25/992 * 1.0083982020)π5/15  小数部分は4n+3型の素数の積

 ζ(5)=2S5π5/15=2( 8/315 * 1.0006471574)π5/15  小数部分は4n+1型の素数の積


ベルヌーイ数と値を比較する。

S1 =     (infinity)

B1 =-0.50000000000000000000

S2 = 0.16666666666666666666

B2 = 0.16666666666666666666

S3 = 0.05815226940437519841

B3 = 0

S4 = 0.03333333333333333333

B4 =-0.03333333333333333333

S5 = 0.02541326114047850532

B5 = 0

S6 = 0.02380952380952380952

B6 = 0.02380952380952380952

S7 = 0.02629132326078070937

B7 = 0

S8 = 0.03333333333333333333

B8 =-0.03333333333333333333

S9 = 0.04764809835221432389

B9 = 0

S10= 0.07575757575757575757

B10= 0.07575757575757575757

S11= 0.13256281935954208462

B11= 0

S12= 0.25311355311355311355

B12=-0.25311355311355311355

S13= 0.52363095673728137463

B13= 0

S14= 1.16666666666666666666

B14= 1.16666666666666666666

S15= 2.78512611503537185625

B15= 0

S16= 7.09215686274509803921

B16=-7.09215686274509803921

最小値はS6となっている。

いずれにしろ自然数で  と例外なく表現できるのは便利である。

 

素数の分布とB2k , S2k+1 の関係は 「素数の分布(1)」を参照。

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