素数の積と円周率・ゼータ関数
円周率の二乗を自然数で構成する次の級数は有名である。
同様に円周率の二乗を素数で構成する乗積が存在する。
ここでは素数で構成される乗積の値を調べる。
後半では奇数の場合も含めて、ゼータ関数の値が素数の積を使用して ζ(k)=cπk の形で表わせることを示す。
重要な役割を果たすのがオイラー積である。
または 
と p2k
- 1=(pk - 1)(pk + 1) を利用すると
ζ(2)=π2/6, ζ(4)=π4/90, ζ(6)=π6/945 より
素数 
素数 
素数 
素数 
最初の 6/π2 は4n+3型の素数(3,7,11,19,23,…)の符号を反転した次の値に分解できる。
素数 
素数 
自然数 (1-1/k2) の積は1/2であるので、これを素数 (1-1/p2) の積で割れば
合成数 
これを偶数 (1-1/(2k)2) の積2/π で割り、(1-1/22)を補正すれば
奇数の合成数
偶数のゼータ関数の値から導かれる積は、円周率で表現できる。
k=3 の場合はζ(3)の値を使用する必要がある。
素数 
素数 
これは逆にζ(3)を表す式と考えることができる。以降はゼータ関数の値を素数の積等で表す式を求める。
この素数部分を展開すると1+1/2^3+1/3^3+1/5^3+1/6^3+1/7^3+1/10^3+… となる。ここには自然数から平方因数(4,8,9,12,16,…)を除いた数字が出現している。つまり
これよりζ(3)を求めると
平方因数
一般にζ(k)を平方因数で表すと
k=2,3,4,5…で
次に自然数でζ(k)をπkの倍数として求める。先ずk=2,3,4,5,… を考える。
と 
の積は 
従って 
つまり
この式はk=1においても成立する。これを負のゼータ値で表現すると
となる。具体的には
1/2乗(√)があるためπkの係数は無理数と思えるが、kが偶数の場合は(下記を参照)
k=2 → 1/90*5/2=1/36=1/6^2
k=4 → 1/9450*7/6=1/8100=1/90^2
k=6 → 691/638512875*715/691=1/893025=1/945^2
であり、√の中は有理数の平方数となる。つまり係数は有理数である。
kが奇数の場合はこうはならない様に思えるが証明方法は？
素数の積の値を改めて求めると
一般に k=2,3,4,5,… で
特に偶数の場合は
8 のとき 7293/7234 、 10 のとき 524875/523833 となる。
参考：mathworld.wolframのRiemann Zeta Function によると
ω(n) は distinct prime factors と呼ばれ、nを構成する異なる素数の個数である。
k=1 のときに発散することは容易に予想できるので、その途中の有限積の値を調べる。(2003/09/22)
メルテンスの定理 
(γはオイラーの定数)を利用して
と 
より
従ってn番目の素数までの積は
n=10^3のとき 積は 155.797822… 右辺の値は 155.410038… 最後の素数は 7,919
n=10^6のとき 積は 528.569709… 右辺の値は 528.562097… 最後の素数は 15,485,863
メルテンスの定理は mathworld.wolframのPrime Products を参照。
またそこではk=2のときの素数の積が"amazing infinite product formulas for primes"として紹介されている。
kが奇数の場合の ζ(k)=cπk の別表現を調べる。(2003/10/24)
DirichletのL関数 L(s)=1-1/3s+1/5s-1/7s+… はオイラー数E2kを使用して
L(2k+1)=(-1)kE2kπ2k+1/(22k+2(2k)!) と表せる。E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,…である。
ここで qを4n+1型の素数、rを4n+3型の素数 とすると
ζ(2k+1)=L(2k+1)/(1-2-2k-1) * Π(1+r-2k-1)/(1-r-2k-1)
以上は Some Constants from Number theory の "4 Riemann zeta prime modulo functions"を参照。
従ってL関数部分を消去すると
rは4n+3型の素数
例えば
これは以前にも発表されているようだ。最初は誰かはっきりしないが、例えばWalter(** リンク解除 2023.07 **)の情報がある。
以下はこれを利用して他の式を導く。
良く知られた次のオイラー積と組み合わせると
4n+3型の素数は'+'
となり、ζ(3)とπ3 は深い関係にあることがわかる。
参考: オイラーによる次の式があり、上の方でも使用している。
また偶数べき乗の同様な形式の積は、次のL関数値になる。
カタラン定数
以前求めた式 と組み合わせると、ベルヌーイ数とオイラー数が同時に出現する式になる。
qは4n+1型の素数
タンジェント数で表せば
例えば
これらの式から素数と円周率とゼータ関数値が深い関係にあることを改めて感じる。
(2003/10/26)
ゼータ関数の特殊値は三角関数の級数展開の係数で、より簡単に表現できることがわかった。
ある関数f(x)のマクローリン級数のx^mの係数を Cf(m) とすると
rは4n+3型の素数
qは4n+1型の素数
qは4n+1型の素数
(2008/11/14)
4n+1型の素数式 
と
4n+3型の素数式 
の積は
q+1=4n+2, r+1=4n+4 でありi^2=-1, i^4=1 であることを利用すると
と表すことができる。
例えば
(2003/10/26)
自然数におけるゼータ関数の値を偶数、奇数の区別なく統一的に表現できる。偶数の場合はベルヌーイ数を使用して表現できるため、それをある意味で拡張した数で表現することになる。ただしその数は奇数の場合は簡単な有理数ではなく、無理数かも知れない。
であるので、k=1,2,3,4,5,…において
となるようにSkを定義し、その値を求める。
とするとき
を利用すると
従って 
ただし分母は二項係数である。
一般的なSkの値を求めたので、他の表現を調べる。
偶数の場合、定義に戻ると S2k=|B2k| である。
奇数の場合、P1=∞ となるため S1=∞ である。一般的に
rは4n+3型の素数
qは4n+1型の素数
具体的には
ζ(2)= S2π2 , ζ(3)=2S3π3/3 , ζ(4)=S4π4/3 , ζ(5)=2S5π5/15 ,
ζ(6)=2S6π6/45 , ζ(7)=4S7π7/315 , …
であり、統一的に扱うことができる。5 の場合をより具体的に示すと S5=0.0254132611… で
ζ(5)=2S5π5/15=2(25/992 * 1.0083982020…)π5/15 小数部分は4n+3型の素数の積
ζ(5)=2S5π5/15=2( 8/315 * 1.0006471574…)π5/15 小数部分は4n+1型の素数の積
ベルヌーイ数と値を比較する。
|
S1 = ∞ (infinity) |
B1 =-0.50000000000000000000… |
|
S2 = 0.16666666666666666666… |
B2 = 0.16666666666666666666… |
|
S3 = 0.05815226940437519841… |
B3 = 0 |
|
S4 = 0.03333333333333333333… |
B4 =-0.03333333333333333333… |
|
S5 = 0.02541326114047850532… |
B5 = 0 |
|
S6 = 0.02380952380952380952… |
B6 = 0.02380952380952380952… |
|
S7 = 0.02629132326078070937… |
B7 = 0 |
|
S8 = 0.03333333333333333333… |
B8 =-0.03333333333333333333… |
|
S9 = 0.04764809835221432389… |
B9 = 0 |
|
S10= 0.07575757575757575757… |
B10= 0.07575757575757575757… |
|
S11= 0.13256281935954208462… |
B11= 0 |
|
S12= 0.25311355311355311355… |
B12=-0.25311355311355311355… |
|
S13= 0.52363095673728137463… |
B13= 0 |
|
S14= 1.16666666666666666666… |
B14= 1.16666666666666666666… |
|
S15= 2.78512611503537185625… |
B15= 0 |
|
S16= 7.09215686274509803921… |
B16=-7.09215686274509803921… |
最小値はS6となっている。
いずれにしろ自然数で と例外なく表現できるのは便利である。
素数の分布とB2k , S2k+1 の関係は 「素数の分布(1)」を参照。