三角関数の乗積と階乗
三角関数の乗積には興味深い性質がある。それを利用して厳密な階乗の式を導く。
sin関数の乗積では Πk=1n-1 2sin(πk/n)=n が成り立つ。この公式を出発点とする。
tan関数の乗積 Πk=1n-1 tan(πk/2n)=1 は容易に示せる。
1=tan x cot x=tan x tan(π/2-x)=tan(πk/2n) tan(π(n-k)/2n) より Πk=1n-1 tan(πk/2n)=1
例えば tan(π/12) tan(2π/12) tan(3π/12) tan(4π/12) tan(5π/12) = 1
左右対称な位置にある同色のtan関数値の積は1であり、その全体の積も当然1となる。
sin関数の式に倍角公式を適用すると Πk=1n-1 4sin(πk/2n)cos(πk/2n)=n
tan関数の式を乗除すれば Πk=1n-1 4sin2(πk/2n)=n , Πk=1n-1 4cos2(πk/2n)=n
従って Πk=1n-1 2sin(πk/2n)=Πk=1n-1 2cos(πk/2n)=√n が成り立つ。
sinとcosに関する式の図形的意味は次の通り。
左図は上側と下側の半円を6(偶数)等分した例。
円周上の等分点を垂直に結んだ線分を(5本)考える。長さの全ての積は6になる。
また右側の線分(2本)の長さの積は√3になる。左側(2本)も同様である。
それぞれの長さは左から1, √3, 2, √3, 1 となっている。
この図は縦線を考えているのでsin関数に対応するが、横線を考える場合はcos関数に対応する。
左図は半円を5(奇数)等分した例。
基本的な数や図形が多く含まれていて興味深い。
・10等分された円
・黄金比やその逆数を一辺とする三角形と四角形
・円周の長さあるいは角度としての円周率
三者(10,φ,π)の関係は「円周率と黄金比」を参照。
縦線の長さの比は 1:φ であり、横長の長方形と縦長の長方形との面積の比は逆に φ:1 になっている。
公式集(岩波 数学公式Ⅱ p24-25)にある式と、それから導ける式を含めて整理する。
|
範囲 |
偶数 |
奇数 |
|
πまで |
Πk=12n-1 2sin(πk/2n)=2n |
Πk=12n 2sin(πk/(2n+1))=2n+1 |
|
Πk=12n-1 2cos(πk/2n)=0 |
Πk=12n 2cos(πk/(2n+1))=(-1)n |
|
|
Πk=12n-1 tan(πk/2n)=±∞ |
Πk=12n tan(πk/(2n+1))=(-1)n(2n+1) |
|
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π/2まで |
Πk=1 n-1 2sin(πk/2n)=√n |
Πk=1 n 2sin(πk/(2n+1))=√(2n+1) |
|
Πk=1 n-1 2cos(πk/2n)=√n |
Πk=1 n 2cos(πk/(2n+1))=1 |
|
|
Πk=1 n-1 tan(πk/2n)=1 |
Πk=1 n tan(πk/(2n+1))=√(2n+1) |
Πk=1n-1 2sin(πk/n)=n は偶数と奇数で共通の式である。
偶数等分の場合、k=n における値(π/2における値)を除外した乗積は
k≠nΠk=12n-1 2sin(πk/2n)=n
k≠nΠk=12n-1 2cos(πk/2n)=(-1)n-1n
k≠nΠk=12n-1 tan(πk/2n)=(-1)n-1
三角関数の値は連続する自然数との組み合わせにより整数となる。2乗の和で構成される級数にも似た性質があるようだ。
(2sin (1π/6)) (2sin (2π/6)) (2sin (3π/6)) (2sin (4π/6)) (2sin (5π/6)) = 6
2sin2(1π/6) + 2sin2(2π/6) + 2sin2(3π/6) + 2sin2(4π/6) + 2sin2(5π/6) = 6
乗算を加算に変更し、指数の1/2を乗算に変更した式が成り立つ。
1^(1/2)*3^(1/2)*4^(1/2)*3^(1/2)*1^(1/2)=6
1*(1/2)+3*(1/2)+4*(1/2)+3*(1/2)+1*(1/2)=6
このページの内容と関連が深い文書を見つけた(2005/10/26)。
G. Ottarsson による文書は The Ladder Hypothesis 1.may,2002
次の三角関数の乗積は値がフィボナッチ数 Fn に等しいことが知られている。
(n=3,4,5,6,…)
例えば
3+2cos(2π/3) = 3+2(-1/2) = 3-1 = 2 = F3
3+2cos(2π/4) = 3+2( 0 ) = 3+0 = 3 = F4
{3+2cos(2π/5)} {3+2cos(4π/5)} = (3+1/φ)(3-φ) = 32-3-1 = 5 = F5
{3+2cos(2π/6)} {3+2cos(4π/6)} = (3+ 1) (3-1) = 32 -1 = 8 = F6
{3+2cos(2π/8)} {3+2cos(4π/8)} {3+2cos(6π/8)}=(3+√2)(3+0)(3-√2)=3(32-2)=21=F8
{3+2cos(2π/10)}…{3+2cos( 8π/10)}=(3+φ)(3+1/φ)(3-1/φ)(3-φ)=34-33+1=55=F10
{3+2cos(2π/12)}…{3+2cos(10π/12)}=(3+√3)(3+1)3(3-1)(3-√3)=3(32-1)(32-3)=144=F12
{3+2cos(2π/16)}…{3+2cos(14π/16)}=3(32-2)(32-2-√2)(32-2+√2)=3(32-2)(72-2)=987=F16
{3+2cos(2π/24)}…{3+2cos(22π/24)}=3(32-1)(32-2)(32-3)(72-3)=46*3*6*8*7=46368=F24
三角関数が乗積で消去されることを利用して階乗の式を求める。
三角関数と指数関数の関係式(「ζ(k)の母関数(対数関数)」を参照)
sin x = x e^{-2(ζ(2)(x/π)2/2+ζ(4)(x/π)4/4+…)}
よりxを求めると
x = (sin x) e^{ζ(2)(x/π)2/1+ζ(4)(x/π)4/2+…}
k<2n としてx=πk/2n の場合
πk/2n = sin(πk/2n) e^{ζ(2)(k/2n)2/1+ζ(4)(k/2n)4/2+…}
k = 2sin(πk/2n) (n/π) e^{ζ(2)(k/2n)2/1+ζ(4)(k/2n)4/2+…}
kが sin部分、 定数部分(n/π)、 eと指数部分 に3分割されている。
自然数kの1からn-1までの乗積をとると、sin部分は√nになり、定数部分はn-1乗され、eの指数部分はkのべき乗の和になる。
(n-1)!=√n (n/π)n-1 e^{ζ(2)/(1(2n)2)Σk=1n-1k2 + ζ(4)/(2(2n)4)Σk=1n-1k4 + …}
従ってn! は両辺をn倍して
指数部分が (Σk=1∞k-2m) と (Σk=1n-1k2m) の積になっているのは興味深い。正のゼータ関数値と部分和である負のゼータ関数値の積であり、偶数ゼータ関数値とべき乗和はベルヌーイ数で構成されるものの代表だからである。
ここの議論では近似を使用していないので、厳密な式を得る事ができる。
実際の値を求める。例えば3!は2,4,6,…,20乗まで計算すると
5.999999999980645… となり、100乗までの値は
5.9999999999999999999999999999999999999999999999999715341… となる。
n-1までではなくnまでの乗積をとると
Σk=1n-1 km に較べてΣk=1n km は nm だけ増加するので、べき和公式の奇数ベルヌーイ数の項の符号を反転するか、あるいはB1の定義を現在の -1/2 ではなく関やベルヌーイが定義した +1/2 にする必要がある。ここではΣk=1n-1 の式を主体とする。
n=Πk=1n-1 2sin(πk/n) を使用すれば次の式になる。
前の式を代表的な階乗の式であるスターリングの公式と比較する。
似た言葉で「スターリングの近似式」があるが、n!≒√(2πn) (n/e)n を指すものとする。
ゼータ関数値を使用した漸近展開式のスターリングの公式は'-'と奇数がベースであり、
ζ(-1)=-1/12,ζ(-3)=1/120,ζ(-5)=-1/252,…
今回の等式は'+'と偶数がベースとなっている。(n/π)n の分母が円周率であるのは面白い。
ベルヌーイ数を使用した式で比較すると自然数で構成されるスターリングの公式
B2=1/6,
B4=-1/30, B6=1/42
に対し、次式は偶数と(π/n)で統一されている。
「自然数1からnまでの積は、和算家である関孝和の研究したべき和公式とベルヌーイ数を使用した項の和により求まる。」
具体的な数字の式は
一般式 
を使用すれば、nが1の場合でも成立する式になる。
ベルヌーイ数が2種類入っているが、絶対値を使用する方は偶数ゼータ関数値によるもので、他はべき乗和の公式から来ている。ゼータ関数値と二項係数で表せば
Σの順序を交換すると、N→∞として指数部分は
mが1から50までを計算すると次の値になる。
n
上記式の値(m=50まで)
1
1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
2
1.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999838
3
5.99999999999999999999999999999999999999999999999997153407611901495
4
23.99999999999999999999999999999999999999999998057830041870536648729
5
119.99999999999999999999999999999999999999992824229953786777567706176
6 719.99999999999999999999999999999999999997186241210356614877389503571
7
5039.99999999999999999999999999999999999647225696227469748092609526742
8
40319.99999999999999999999999999999999976664458902767212855154367643991
9 362879.99999999999999999999999999999998945354783469981051557882086847967
10
3628799.99999999999999999999999999999962326555251093490355649852417019232
nが小さい場合でも精度が良い。次の場合はmを∞まで計算しなくても正確な値になる。
n= 1 の場合は 1! = π(√1)(1/π)1e0 = 1 eの指数部分は Σj=02m (j2m+1)Bj=0 となる。
n=1/2 の場合は (1/2)! = π(1/√2)(1/(2π))1/2e0 = (√π)/2 = Γ(3/2)
eの指数部分の Σj=02m (j2m+1)Bj2j-1
は0である。何故ならば
ベルヌーイ多項式 Bm(x)=Σj=0m (jm)Bjxm-j の母関数 text/(et-1)=Σm=0∞ Bm(x)tm/m!
において、x=1/2 の場合は f(t)=tet/2/(et-1) であり
f(-t)=-te-t/2/(e-t-1)=tet/2/(et-1)=f(t) と偶関数になる。
そのため 0=B2m+1(1/2)=Σj=02m+1 (j2m+1)Bj2j-2m-1={Σj=02m (j2m+1)Bj2j-1}2-2m+B2m+1
mは1以上であるので B2m+1=0 。従って Σj=02m (j2m+1)Bj2j-1=0 である。
スターリングの公式はnが大きい場合に少ない項数で近似値を求めるのに適している。
それに対して上記式はnが小さい場合にも有効で、多くの項数により正確な値を求めるのに適している。ただし事前にn1-jに対する係数の値を求めておくことにより、項数を減らした式を作成することは可能である。
上記式をガンマ関数の式として使用する場合の考慮点。数値計算の結果によると
・整数と半整数では項数が多い程正確な値になる。(n=1,n=1/2は最初から正確な値)
n=3/2 の場合はΓ(5/2)=
3(√π)/4に相当し、m=50までの値は小数点以下80桁まで正しい。
n=5/2 の場合はΓ(7/2)=15(√π)/8に相当し、m=50までの値は小数点以下54桁まで正しい。
この精度はn=2(9が62個連続)とn=3(9が49個連続)の場合の中間である。
整数や半整数以外は「ガンマ関数」を参照。
eの指数にあるn1-j に対する係数の極限値を求める。
n1 → π/e
Σm=1∞ π2m|B2m|/(2m(2m+1)!)=ln(π)-1 e^{(B0/0!)ln(π/e)}=π/e
ln π＝1+Σm=1∞ ζ(2m)/{m(2m+1)22m} のため。「ゼータ関数の奇数値ζ(2k+1)」を参照。
n0 → √(2/π)
Σm=1∞ π2m|B2m|/(2m(2m+0)!) e^{(B1/1!)ln(π/2)}=√(2/π)
=2Σm=1∞ ζ(2m)/(2m 22m )=ln(π/2) 「ζ(k)の母関数(対数関数)」を参照。
n-1 → e^( 1/12) 以降は下記の ゼータ関数値を使用した級数 を参照。
Σm=1∞ π2m|B2m|/(2m(2m-1)!)= 1=0! e^{(B2/2!)0!}=e^{B2/(1*2)}=e^( 1/12)
n-3 → e^(-1/360)
Σm=2∞ π2m|B2m|/(2m(2m-3)!)= 2=2! e^{(B4/4!)2!}=e^{B4/(3*4)}=e^(-1/360)
n-5 → e^( 1/1260)
Σm=3∞ π2m|B2m|/(2m(2m-5)!)=24=4! e^{(B6/6!)4!}=e^{B6/(5*6)}=e^( 1/1260)
nでまとめた順序に変更すると √(2πn)(n/e)ne^{1/(12n)-1/(360n3)+1/(1260n5)-…} となり、スターリングの公式(漸近展開式)と一致する。
これをわかり易く示したのが次表である。例としてmが1から5 まで(1/n9まで)を計算する場合を考えると、本来薄い水色の部分を計算すべきであるが、各列毎にm→∞ まであらかじめ計算した最下行の数値を代用するのがスターリングの公式である。
|
|
n |
n0 |
1/n |
1/n3 |
1/n5 |
1/n7 |
1/n9 |
1/n11 |
… |
|
m= 1 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
m= 2 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
|
|
|
|
|
|
m= 3 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
|
|
|
|
|
m= 4 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
j= 8 |
|
|
|
|
m= 5 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
j= 8 |
j=10 |
|
|
|
m= 6 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
j= 8 |
j=10 |
j=12 |
|
|
m= 7 |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
j= 8 |
j=10 |
j=12 |
… |
|
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
|
m→∞ |
j= 0 |
j= 1 |
j= 2 |
j= 4 |
j= 6 |
j= 8 |
j=10 |
j=12 |
… |
|
|
π/e |
√(2/π) |
e1/12 |
e-1/360 |
e1/1260 |
e-1/1680 |
e1/1188 |
e-691/～ |
… |
実際の値として指数部分(対数)を一部示す。
|
m |
n |
n0 |
1/n |
1/n3 |
1/n5 |
… |
|
1 |
π2/72 |
-π2/48 |
π2/144 |
|
|
|
|
2 |
π4/14400 |
-π4/5760 |
π4/8640 |
-π4/86400 |
|
|
|
3 |
π6/1270080 |
-π6/362880 |
π6/362880 |
-π6/1088640 |
π6/7620480 |
|
|
: |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
|
合計 |
ln(π/e) |
-(ln(π/2))/2 |
1/12 |
-1/360 |
1/1260 |
… |
量的に把握するため「累積値」を「合計の絶対値」との相対比で示す。
|
m |
n |
n0 |
1/n |
1/n3 |
1/n5 |
1/n7 |
1/n9 |
|
1 |
0.947129 |
-0.910649 |
0.822467 |
|
|
|
|
|
2 |
0.993868 |
-0.985547 |
0.957757 |
-0.405871 |
|
|
|
|
3 |
0.999098 |
-0.997281 |
0.989549 |
-0.723791 |
0.158960 |
|
|
|
4 |
0.999851 |
-0.999452 |
0.997393 |
-0.888522 |
0.433512 |
-0.054910 |
|
|
5 |
0.999973 |
-0.999885 |
0.999349 |
-0.958905 |
0.679851 |
-0.219136 |
0.017596 |
例えば1/n9まで使用する場合、1/n5 の項は e^(0.679851/1260n5)=e^(1/1853.3479n5) にすると薄い水色の部分を計算したことになる。全体の式は
√(2πn) (n/e)n (π/e)(0.99997…-1)n (√(2/π))0.99988…-1 eg
g=0.9993…/12n-0.9589…/360n3+0.6798…/1260n5-0.2191…/1680n7+0.01759…/1188n9
事前にこれらの数値を求めておけば、項数を大幅に減らした式になる。
スターリングの公式では、次第に絶対値が増える後の項が過剰な比率で使用されている。そのためnが小さい時に多くの項数で計算すると値が不安定になる。
参考: スターリングの公式で使用される Bj/(j-1)j の値。後では巨大な数値になる。
j
分数
実数
逆数
2
1/12 0.08333333333333
12.0000000000000000000000000
4
-1/360 -0.00277777777778
-360.0000000000000000000000000
6 1/1260
0.00079365079365
1260.0000000000000000000000000
8
-1/1680 -0.00059523809524
-1680.0000000000000000000000000
10
1/1188 0.00084175084175
1188.0000000000000000000000000
12
-691/360360 -0.00191752691753
-521.5050651230101302460202605
14
1/156 0.00641025641026
156.0000000000000000000000000
16
-3617/122400 -0.02955065359477
-33.8401990599944705557091512
18 以下省略 0.17964437236883
5.5665534456425103152711606
20
-1.39243221690590
-0.7181678130243799073368803
30
691472.26885131306711
0.0000014461895943581643404
40
-12369602142269.27445425171035
-0.0000000000000808433439086
50 3061578263704883415043.15105132962276
0.0000000000000000000003266
参考: 意外な関係があった「べき和公式」との対応。
|
Σはk=1～(n-1) |
共通 |
n |
n0 |
1/n |
1/n3 |
1/n5 |
… |
|
(Σ k2)/n2 |
|
n/3 |
-1/2 |
1/6n |
|
|
|
|
(Σ k4)/n4 |
|
n/5 |
-1/2 |
1/3n |
-1/30n3 |
|
|
|
(Σ k6)/n6 |
|
n/7 |
-1/2 |
1/2n |
-1/ 6n3 |
1/42n5 |
|
|
: |
|
: |
: |
: |
: |
: |
: |
|
n! = |
nn+1/2 |
e-n |
√(2π) |
e1/12n |
e-1/360n^3 |
e1/1260n^5 |
… |
指数部分は (Σ k2m)/n2m の主要な先頭2項を除いたもの、つまり3項目以降が使用されている。
最初のn1とn0(定数)の部分を指数外に出した式 π√n(n/π)n{(π/e)n}{√(2/π)}e^{…} より
この式は見た目にはスターリングの公式に近いが、mを1から無限大まで計算すると厳密な値となる。そのためこの式は「スターリングの公式の厳密化」となっている。
mを途中で打ち切る場合は、nの大小にかかわらず一定の精度を持つようだ。mを1から50まで計算すると次の値になる。計算に必要な回数が減った替わりに、精度は前の式よりも落ちている。
n
n!
上記式の値(m=50まで)
1
1
0.9999999999999999999999999999999974877813
2
2
1.9999999999999999999999999999999950744359
3
6
5.9999999999999999999999999999999855199279
4
24
23.9999999999999999999999999999999432661922
5
120 119.9999999999999999999999999999997222633643
6
720
719.9999999999999999999999999999983691745777
7
5040
5039.9999999999999999999999999999888333796484
8 40320
40319.9999999999999999999999999999126601195386
9 362880 362879.9999999999999999999999999992318722169551
10 3628800
3628799.9999999999999999999999999924978467732332
9の連続も含めた正確な桁数が33桁前後でほぼ一定している。n=30 の場合も同様である。
30 265252859812191058636308480000000
265252859812191058636308479999999.670829
nが半整数の場合、整数時と同程度の精度で値が一致している。
n= 1/2 の場合 0.8862269254527580136490837416705703430968 Γ(3/2)=(√π)/2
n= 3/2 の場合 1.3293403881791370204736256125058555803634 Γ(5/2)=3(√π)/4
mが100まで計算した整数の例。10!は更に正確な値に近くなる。
3628799.999999999999999999999999999999999999999999999999999999996650
整数や半整数以外は「ガンマ関数」を参照。
二重階乗の式を求める。
(2n-1)!! = 1*3*5*…*(2n-1) = 2nΓ(n+1/2)/√π (= 2n(n-1/2)!/√π )
(2n)!! = 2*4*6*…* (2n) = 2n n!
を利用すると次式を得る。
Nが奇数の場合 
Nが偶数の場合 
ただし指数部分は 
で、N=1,2,3,4,…とする。
mが1から50までを計算すると次の値になる。
N
上記式の値(m=50まで)
1
1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
2
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
3
3.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
4
7.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999350
5
14.99999999999999999999999999999999999999999999999999999850368181707
6
47.99999999999999999999999999999999999999999999999977227260895211956
7
104.99999999999999999999999999999999999999999999942251083214954793893
スターリングの公式(漸近展開式)と同様な形式にした式は
Nが奇数の場合 
Nが偶数の場合
ただし指数部分は 
であり、
その係数は 2/12, -23/360, 25/1260,… である。
1から始まる奇数の積は √2 が係数となり、2から始まる偶数の積は √π が係数となる。
そのため、両者の積である1から始まる自然数の積(階乗)は √(2π) が係数となる。
また 偶数の積2/奇数の積2 の形式であるウォリスの積の極限値は π/2 となる。
偶数の階乗はゼータ関数値を使用した次の級数に等しい。
(2n)!=Σm=n+1∞ (2m-1)!ζ(2m)/((2m-1-2n)! 22m-1)
0!=ζ(2)/21+ζ(4)/23+ζ(6)/25+…
2!=2*3ζ(4)/23+4*5ζ(6)/25+6*7ζ(8)/27+…
4!=2*3*4*5ζ(6)/25+4*5*6*7ζ(8)/27+6*7*8*9ζ(10)/29+…
cot x とベルヌーイ数、偶数ゼータ関数値の関係から次の関数f(x)を考える。
f(x) = (π/2) (1/x - cot x) = ζ(2) (x/π) + ζ(4) (x/π)3 + ζ(6) (x/π)5 + … これを微分すると
f(1)(x) = (1/π ) { 1ζ(2) + 3ζ(4) (x/π)2 + 5ζ(6) (x/π)4 + …}
f(2)(x) = (1/π2) { 2*3ζ(4) (x/π) + 4*5ζ(6) (x/π)3 + …}
f(3)(x) = (1/π3) { 1*2*3ζ(4) + 3*4*5ζ(6) (x/π)2 + …}
f(4)(x) = (1/π4) { 2*3*4*5ζ(6) (x/π) + 4*5*6*7ζ(8) (x/π)3 + …} と続く。
上記の級数は (π/2)2n f(2n)(π/2) であるので、その値を求める。g(x)=cot x とする。
f(x) = (π/2) ( x-1 - g(x) ) , f(1)(x) = (π/2) (-1x-2 - g(1)(x) ) , f(2)(x) = (π/2) (1*2x-3 - g(2)(x) ) , …
一般に f(2n)(x)=(π/2){(2n)!x-(2n+1) - g(2n)(x)} となる。
(π/2)2n f(2n)(π/2) = (π/2)2n (π/2){(2n)!(π/2)-(2n+1) - g(2n)(π/2)} = (2n)! - (π/2)2n+1g(2n)(π/2)
g(π/2+x)のx=0を中心としたテイラー展開は
g(π/2+x) = g(π/2) + g(1)(π/2) x/1! + g(2)(π/2) x2/2! + g(3)(π/2) x3/3! + g(4)(π/2) x4/4! + …
一方 g(π/2+x) = cot(π/2+x) = -tan x = - x - (1/3)x3 - (2/15)x5 - …
tan x は奇関数であるので g(2n)(π/2)=0 である。従って上記の級数の値は(2n)!となる。
奇数の階乗にはタンジェント数が入って来るが、ゼータ関数値で統一すると
1!={1ζ(2)/21+3ζ(4)/23+5ζ(6)/25+…} / {(22-1)ζ(2)/21-1}
3!={1*2*3ζ(4)/23+3*4*5ζ(6)/25+5*6*7ζ(8)/27+…} / {(24-1)ζ(4)/23-1}
あるいは
1!={3ζ(4)/23+5ζ(6)/25+7ζ(8)/27+…} / {(21-1)ζ(2)/20-1}
3!={3*4*5ζ(6)/25+5*6*7ζ(8)/27+7*8*9ζ(10)/29+…} / {(23-1)ζ(4)/22-1}
偶数の階乗をベルヌーイ数と円周率で表せば
0! = |B2|π2/(1!2) + |B4|π4/(3!4) + |B6|π6/(5!6) + … |B2|π2/2! + |B4|π4/4! + |B6|π6/6! + … = 1
2! = |B4|π4/(1!4) + |B6|π6/(3!6) + |B8|π8/(5!8) + …
4! = |B6|π6/(1!6) + |B8|π8/(3!8) + |B10|π10/(5!10) + …
0! = π2/12 + π4/720 + π6/30240 + π8/1209600 + π10/47900160 + 691π12/1307674368000 + …
2! = π4/120 + π6/1512 + π8/28800 + π10/665280 + 691π12/11887948800 + π14/479001600 + …
4! = π6/252 + π8/1440 + π10/15840 + 691π12/165110400 + π14/4354560 + 3617π16/32～00 + …