ゼータ関数等の級数・乗積・連分数

ゼータ関数とその関連の関数の級数、乗積、連分数展開を示す。(2003/09/26)

級数と乗積の拡張でもある連分数では、両者が似た形式になる。

の級数より展開すると

のオイラー積より展開すると

オイラー積は自然数の級数を素数の乗積に変え、分母の素数から1を引いたものである。この分母から引く数字を0にし自然数のままにすれば、その乗積の展開が級数の展開と先頭の一部を除いて等しくなることがわかる。但し完全な0にはできないので極限をとると次の式になる。

では分母から他の数値、例えば1/2や2等を引いたときも成立するような数列はあるのか?

を展開すると

(2003/10/03)

Riemann zeta prime function は次の級数と連分数で表すことができる。

Riemann zeta function の連分数の各項間を'+'にするには、次の級数から展開する。

Dirichlet lambda function の級数(奇数)と乗積(素数)は次の関係にある。

(2004/04/06)

オイラー積の連分数を級数にすると

(2004/06/26)

これを更に展開したものが 1-1/2^x-1/3^x+1/(2^x3^x)-1/5^x+… であり、

1/ζ(x) = Σ_k=1^∞μ(k)/k^x におけるメビウス関数μ(k)の存在理由を知ることができる。

(2004/07/09)

(2004/07/11)

オイラー積の連分数を変形すると

ただし0による割り算にならない部分和で考える。