円周率と黄金比

円周率と黄金比を構成する式を示す。両者は10とも密接な関係を持っている。

円周率と10の関係式。

π²= 10-1/(1*2)³-1/(2*3)³-1/(3*4)³-1/(4*5)³-1/(5*6)³- … ← 既知の式(Ramanujan)

π²= 10/Π_P{1+(-1)^(p^2)(p^2)^(-1)} =10/{(1+2^-2)(1-3^-2)(1-5^-2)(1-7^-2)(1-11^-2)…}

次式の1/k^2の符号はkを素因数分解した時、 (-1)^(素数2の個数) である。

π²= 10(1/1²-1/2²+1/3²+1/4²+1/5²-1/6²+1/7²-1/8²+1/9²-1/10²+1/11²+ …)

上記式で素数2を奇数個含むマイナスの項(k=2,6,8,10,…)を考える。kを q₁q₂…q_n と素因数分解してr=Σ_j=1ⁿ (q_j-1)とする時、次式のkに対する符号はrの4n±1に対応して'±'である。例えばk=6=2*3ではr=1+2=3=4*1-1 で'-'、k=24=2*2*2*3ではr=1+1+1+2=5=4*1+1 で'+'。

π　= 10(1/2-1/6-1/8+1/10-1/14+1/18-1/22+1/24+1/26-1/30+ …)

黄金比と円周率と10の関係式。φπの級数と乗積の各項が殆ど同じ形式である。

次の円周率の乗積と黄金比の乗積は似た形式である。

(φπ)²=(10²/2²) { 1+1/(1-10)²+1/(1+10)²+1/(1-20)²+1/(1+20)²+1/(1-30)²+1/(1+30)²+ …}

π² =(10²/2 ) { (0!)²/(2!φ²)+(1!)²/(4!φ⁴)+(2!)²/(6!φ⁶)+(3!)²/(8!φ⁸)+ …}

ゼータ関数値で表すと

√(φπ)=√(10/2) e^{ ζ(2)/(2*10²)+ζ(4)/(4*10⁴)+ζ(6)/(6*10⁶)+ζ(8)/(8*10⁸)+ …}

(φπ)²=(10²/2 ) { (-1)ζ(0)/10⁰+1ζ(2)/10²+3ζ(4)/10⁴+5ζ(6)/10⁶+7ζ(8)/10⁸+ …}

ベルヌーイ数との関係は

フィボナッチ数と円周率と10の関係式。Castellanosの式を利用すると、√10 の小数部分をtとして

√10 = 3+t = 3.16227766…

φ = 5/π+π/120+7π³/720000+31π⁵/3024000000+127π⁷/12096000000000+ …

φ² = 25/π²+1/12+π²/6000+π⁴/3780000+π⁶/2700000000+ …

φとπとeの関係式。

φ = (5/π)ｅ＾( π²/600+π⁴/1800000+π⁶/2835000000+ … )

黄金比の次式の分母は1,3,6で始まる数字であるが、それは後ろに続く0の個数と等しい。

φ≒1+2π/10-π³/3000+π⁵/6000000 = 1.6180341…

1,2,3 の数字を使用した黄金比の近似式。

φ≒ (322-1/322)^(1/12) 12=3*2*2

φ≒ (233-1/(322-1/322))/12^2

φ≒-((12^2/233)^12-233)/12^2

1と'+'は黄金比と深い関係にあるが、2と'+','-'はφ ,π ,e と関係が深い。

有名なの連続平方根式に対し、 √の個数をnとして

←既知の式

　 ( )の個数はn個

これに関連して √(φπ) ≒ √e + 1/√e , φπ ≒ 2 + e + 1/e , e ≒ (1+2/(φπ-2) )²

⁴√(φπ) ≒ 2⁰ + 2^-1 = 3/2 , φπ ≒ 2⁰ + 2² + 2^-4 + 2^-6 + 2^-8 + 2^-10 + 2^-12

カタラン数 1,1,2,5,14,42,132,… を使用した円周率、黄金比、白銀比の級数。

黄金比の連分数を乗積化すると、フィボナッチ数による乗積表現となる。

φ=(1+1/1²) (1-1/2²) (1+1/3²) (1-1/5²) (1+1/8²) (1-1/13²) …

次の乗積は分母のフィボナッチ数が和でも積であっても黄金比となる。

黄金比は5の倍数を除く乗積で表現することもできる。

参考:5の倍数を除く円周率の級数は

π=(√5)(1/1+1/3+1/7+1/9-1/11-1/13-1/17-1/19+1/21+1/23+1/27+1/29-1/31-1/33-1/37-1/39+…)

オイラー積は素数のある種の乗積であるが、ζ(2)は偶数の似た乗積に等しい。

円周率の近似式で有名な祖冲之による密率。

355/113=3.14159292…

数字を逆にした分数は円周率の平方根に近いことが知られている。553/311≒√π

11と33で構成した式。

¹¹√(333333/1.133)=3.14159252…

より近い値は

355/113-1/44^4=3.141592653551… = 3-1/44^4+16/113

密率の精度を上げた式。

(1-1/11776666)/(113/355)=3.141592653589779…

ただし上記式はラマヌジャンによる次式と本質的に等しい。

(355/113)(1-0.0003/3533)=3.1415926535897943…

0と1,3,5だけで構成した式で、精度もこちらが少し良い。

2と1,3,5だけで構成した式。数字は小数点第19位まで正しい。

355/(113+1/(11^3*3+5^5*2^5+11*3*355/(52+1/(113*3+5*2^5+11/(5+3/(1+2^(1/2)))))))

=3.141592653589793238478…

インドのマーダヴァが発見(後にグレゴリーとライプニッツが再発見)した級数 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…=π/4 は収束が遅いことで有名であるが、次の級数は少ない項数で円周率の近似値を得ることができる。[ ]内は 1-1/3+1/5-… の項数。「円周率と級数」を参照。

[   1項] 4*(1)-2/(2+1/2) = 3.2
[   2項] 4*(1-1/3)+2/(4+1/4) = 3.13725…
[   3項] 4*(1-1/3+1/5)-2/(6+1/6) =3.142342…
[   4項] 4*(1-1/3+1/5-1/7)+2/(8+1/8) =3.1413919…
[ 10項] 4*(1-1/3+1/5-1/7+…-1/19)+2/(20+1/20) = 3.141590242…
[ 100項] 4*(1-1/3+1/5-1/7+…-1/199)+2/(200+1/200) = 3.14159265356480…
[1000項] 4*(1-1/3+1/5-1/7+…-1/1999)+2/(2000+1/2000) = 3.141592653589792988…
最初は1項の追加で正しい数字が1桁増加している。

級数と連分数の合計による円周率の近似値。

[   1項] 4*(1)-2/(2+1²/2) = 3.2
[   2項] 4*(1-1/3)+2/(4+1²/(4+2²/(4))) = 3.142857…
[   3項] 4*(1-1/3+1/5)-2/(6+1²/(6+2²/(6+3²/(6)))) = 3.1416252…
[ 10項] 4*(1-1/3+…-1/19)+2/(20+1²/(20+2²/(20+…+10²/(20)…) = 3.1415926535897937321…
[ 100項] 4*(1-1/3+…-1/199)+2/(200+1²/(200+2²/(200+…+100²/(200)…) = 3.14…284818194…
最後の数値は154桁正しい。

覚えている円周率の続きは三角関数の値で知ることができる。

sin(3.14   )=0.00159265291…               tan(3.14 )=-0.001592654936…
sin(3.14159)=0.00000265358979323534…     2 cos(3.14/2)= 0.001592653421…
3+sin(3)+sin(3+sin(3))=3.1415926535721…
3/2+cos(3/2)+cos(3/2+cos(3/2))=3.1415926535897243…/2