円周率と級数

単純で美しいが収束が遅い級数を用いて、円周率の値を効率的に計算する方法を示す。

奇数で構成される単純な円周率の級数 4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-… は、発見者の名前からグレゴリー級数やライプニッツ級数と呼ばれる事が多い。1670年頃の発見であるが、1400年頃にインドで既に発見されていた。その発見者の名前からマーダヴァ級数と呼ぶこともある。(マーダヴァ・)グレゴリー・ライプニッツ級数と連名で呼ぶこともある。収束が遅くて実用的でない級数の代表となっているが、思われている以上に効率良く円周率を計算できる事を示す。

円周率を計算する場合、4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-… よりも奇数の立方数を引いた

(4-1³)/1-4/(3-3³)+4/(5-5³)-4/(7-7³)+4/(9-9³)-… を使用すると収束が速い。「立方数等の逆数和」を参照。

絶対値が 4/k の項、あるいは 4/(k-k³) の項までの部分和をそれぞれ S₁(k),S₃(k) とすると

S₁(10⁴+1)=3.1417926135957928…

S₃(10⁴+1)=3.1415926535877944…

しかし収束が速い式を使用する方が、効率的(計算量が小)であるかは別問題である。例えば

S₁(11)=2.97604617604617604617…

S₃(11)=3.14271284271284271284…

であるが

S₁( 9)=3.33968253968253968253…

S₃( 9)=3.13968253968253968253…

となり S₃(9) の値は簡単な計算で済む S₁(9) から0.2を引くだけで求まってしまう。

その理由は次の式を見れば明らかである。

1/(3³-3)-1/(5³-5)+1/(7³-7)-1/(9³-9)

=(1/4+1/8-1/3)-(1/8+1/12-1/5)+(1/12+1/16-1/7)-(1/16+1/20-1/9)

=(1/4-1/3)-(-1/5)+(-1/7)-(1/20-1/9)

=-3/4+(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9)-1/20

つまり部分和で消去されずに残る最後の部分を補正すれば、収束の速い式と同じ値になる。

(4-1³)/1-4/(3-3³)+4/(5-5³)-4/(7-7³)+4/(9-9³) = 4/1-4/3+4/5-4/7+4/9 - 2/10

S₁(9) の場合とは異なり見ても気が付かないが、S₁(11) の場合も補正すれば

2.97604617604617604617… + 2/12 = 3.14271284271284271284… = S₃(11) となる。

このことは

収束の速い複雑な式 = 収束の遅い単純な式 + 補正項

と表現でき、式の単純さと収束の速さを両立できる。

この補正部分は、偶数のオイラー数(1,-1,5,-61,1385,-50521,…)の2倍で表すことができる。

CONTINUED FRACTIONS OF TAILS OF HYPERGEOMETRIC SERIES を参照。

漸近展開

例えば S₁(10⁴-1) と π の値は次の通り。異なる数字が現れた桁より後にも正しい数字が出現している。

3.14139265359179323836264339547950011419817981883455321969651876254589…

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781…

参考: 後にも正しい数字が出現する現象は円周率の級数に限らない。他の級数や乗積や連分数でも経験する事がある。真の値との差が規則正しいパターンであるかが、値の一致度の参考情報となる。

差の半分 (S₁(10⁴-1)-π)/2 とその補数にはオイラー数が現れている。

1 5 1385 (2702765) …

-0.00009999999900000004999999390000138499949479027027630063921291488096…

0.99990000000099999995000000609999861500050520972972369936078708511903… (補数)

-1 -61 -50521 (-199360981) …

6個のオイラー数により補正した値は次の通り。

S₁(10⁴-1)+2(1/10⁴-1/10¹²+5/10²⁰-61/10²⁸+1385/10³⁶-50521/10⁴⁴)

=3.14159265358979323846264338327950288419716939883455321969651876254589…

通常は5000項の計算で小数点以下3桁しか求まらないとされてしまうが、全部で5006項の計算で小数点以下44桁の正しい値が求まっている。

オイラー数は直接の計算が複雑であり、E_n≒2(n!)(2/π)ⁿ⁺¹ のオーダーで増加する巨大な整数であるので、扱いが面倒である。オイラー数と連分数の関係を利用して補正すると簡単な式になる。

「ζ(k)と母関数　オイラー数とタンジェント数の母関数」を参照。

割り算が6回の連分数により補正した値は次の通り。

S₁(10⁴-1)+2/(10⁴+1²/(10⁴+2²/(10⁴+3²/(10⁴+4²/(10⁴+5²/(10⁴))))))

=3.14159265358979323846264338327950288419716939927142602315064591140428…

4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-…で円周率を計算する場合、部分和を連分数により補正すると効率が良い。「級数と乗積　円周率と黄金比」を参照。

1/k⁵ 程度の速さで収束する円周率の式に等しい式の例は

32/(1²*3*5²)+32/(5²*7*9²)

={(1/1²+1/3²-1/1+1/3)-(1/3²+1/5²-1/3+1/5)}+{(1/5²+1/7²-1/5+1/7)-(1/7²+1/9²-1/7+1/9)}

= 2-2/1+2/3-2/5+2/7-1/9-1/9²

従って

4-2⁶{1/(1²*3*5²)+1/(5²*7*9²)} = (4/1-4/3+4/5-4/7+4/9)-2/9+2/9² = 3.14215…

この補正項は拡張するとタンジェント数の2倍で表すことができる。オイラー数との関係は

「ζ(k)と母関数　オイラー数とタンジェント数(1)」を参照。

漸近展開

6個のタンジェント数により補正した値は次の通り。

S₁(10⁴-1)+2(1/9999-1/9999²+2/9999⁴-16/9999⁶+272/9999⁸-7936/9999¹⁰+353792/9999¹²)

=3.14159265358979323846264338327950288419716939937555381249473583689992…

オイラー数を使用しない補正項の級数は、「ζ(k)と母関数　オイラー数とタンジェント数の母関数」での式

を利用すると

例えば

バーゼル問題の答えとして知られるオイラー級数 π²/6=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+… に対する同様の式は

あるいは

例えば

円周率を4/1-4/3+4/5-…-4/(10^m-1) までの値により、多数決原理で求める。

1 2 3

1234567890123456789012345678901234567

3.1395926555897832385846406133805394790… 10^3-1までの値

3.1413926535917932383626433954795001141… 10^4-1までの値

3.1415726535897952384626423832795041041… 10^5-1までの値

3.1415906535897932404626433832695028841… 10^6-1までの値

3.14159265358979323846264338327950?1?41… 多数決による値

3.1415926535897932384626433832795028841… 正確な値

10^3-1から10^6-1までの4個の値により、小数点以下32桁まで正しい値が求まっている。

正しくない数字の出現には周期性があるため、重みづけをすればより多くの正しい数字が求まるはずだ。

目次次