メビウス関数
メビウス関数 μ(k) を使用した各種の式を求める。
μ(k)の定義
素数が奇数個 → -1=μ(2)=μ(3)=μ(5)=μ(7)=μ(2*3*5)=…
平方因子あり → 0=μ(22)=μ(22*2)=μ(32)=μ(22*3)=…
素数が偶数個 → 1=μ(1)=μ(2*3)=μ(2*3*5*7)=…
μ(k)kの値
1,-2,-3,0,-5,6 -7,0,0,10,-11,0,-13,14,15,0,-17,0,-19,0,21,22,-23,0,0,26,0,0,
-29,-30,-31,0,33,34,35,0,-37,38,39,0,-41,-42,-43,0,0,46,-47,0,0,0,51,0,-53,0,
55,0,57,58,-59,0,-61,62,0,0,65,-66,-67,0,69,-70,-71,0,-73,74,0,0,77,-78,-79,0,
0,82,-83,0,85,86,87,0,-89,0,91,0,93,94,95,0,-97,0,0,0,-101,-102,-103,0,-105,…
メビウス関数の公式
Σk|nμ(k) の公式を利用すると
が成り立つ。なぜならば
μ(1){x^1 +x^2 +x^3 +x^4 +x^5 +x^6 +…}
+μ(2){x^2 +x^4 +x^6 +x^8 +x^10+x^12+…}
+μ(3){x^3 +x^6 +x^9 +x^12+x^15+x^18+…}
+μ(4){x^4 +x^8 +x^12+x^16+x^20+x^24+…}
+μ(5){x^5 +x^10+x^15+x^20+x^25+x^30+…}
+μ(6){x^6 +x^12+x^18+x^24+x^30+x^36+…}
+…
において、x以外の係数は0となるからである。
x^1の係数 1 = Σk|1 μ(k) = μ(1)
x^2の係数 0 = Σk|2 μ(k) = μ(1)+μ(2)
x^3の係数 0 = Σk|3 μ(k) = μ(1)+μ(3)
x^4の係数 0 = Σk|4 μ(k) = μ(1)+μ(2)+μ(4)
x^5の係数 0 = Σk|5 μ(k) = μ(1)+μ(5)
x^6の係数 0 = Σk|6 μ(k) = μ(1)+μ(2)+μ(3)+μ(6)
:
更に一般的に
が成り立つ。上記と同様に
μ(1){f(1 )x^1 +f(2 )x^2 +f(3 )x^3 +f(4 )x^4 +…}
+μ(2){f(2 )x^2 +f(4 )x^4 +f(6 )x^6 +f(8 )x^8 +…}
+μ(3){f(3 )x^3 +f(6 )x^6 +f(9 )x^9 +f(12)x^12+…}
+μ(4){f(4 )x^4 +f(8 )x^8 +f(12)x^12+f(16)x^16+…}
+…
においてx以外の係数は0となる。
x^1の係数 f(1) = Σk|1 f(1)μ(k) = f(1)μ(1)
x^2の係数 0 = Σk|2 f(2)μ(k) = f(2)μ(1)+f(2)μ(2)
x^3の係数 0 = Σk|3 f(3)μ(k) = f(3)μ(1)+f(3)μ(3)
x^4の係数 0 = Σk|4 f(4)μ(k) = f(4)μ(1)+f(4)μ(2)+f(4)μ(4)
:
f(t)=1/t^s の場合、f(1)=1 であるので
x = Σk=1∞ μ(k){xk/k^s+x2k/(2k)^s+x3k/(3k)^s+x4k/(4k)^s+…}
多重対数関数(ポリログ関数) Lis(z)=Σj=1∞ zj/js で表した式は
x=1 においては
1=Σk=1∞ μ(k){1/k^s+1/(2k)^s+1/(3k)^s+1/(4k)^s+…}
=Σk=1∞ (μ(k)/k^s){1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…}
=Σk=1∞ (μ(k)/k^s)ζ(s)
=ζ(s) Σk=1∞ μ(k)/k^s
従ってよく知られた次の関係を得る。
Σk=1∞μ(k)/k^s = 1/ζ(s)
上記式で負の項を正にすると 素数の積と円周率・ゼータ関数 で求めた式になる。
Σk=1∞μ(k)^2/k^s = ζ(s)/ζ(2s) = Πp (1+1/p^s)
f(t)=1 の場合、x^(k)+x^(2k)+x^(3k)+x^(4k)+… = x^k/(1-x^k) であるので
0.099999… = 1/9 -1/99 -1/999 +0/9999 -1/99999 +1/999999 -1/9999999 + …
f(t)=t の場合、(k)x^(k)+(2k)x^(2k)+(3k)x^(3k)+… = kx^k/(1-x^k)^2 であるので
f(t)=1/t の場合、x^(k)/(k)+x^(2k)/(2k)+x^(3k)/(3k)+… = -ln(1-x^k)/k であるので
あるいは
自然数で構成される μ(1)/1^s+μ(2)/2^s+μ(3)/3^s+μ(4)/4^s+… の値は、奇数部分によって決まる。μ(4k)=0, μ(2(2k-1))=μ(2)μ(2k-1) であるため、偶数部分は
μ(2)/2^s+μ(4)/4^s+μ(6)/6^s+μ(8)/8^s+μ(10)/10^s+μ(12)/12^s+μ(14)/14^s+…
= μ(2)/2^s+μ(6)/6^s+μ(10)/10^s+μ(14)/14^s+…
={μ(2)/2^s}{μ(1)/1^s+μ(3)/3^s+μ(5)/5^s+μ(7)/7^s+…}
従って
μ(1)/1^s+μ(2)/2^s+μ(3)/3^s+μ(4)/4^s+…
=(1-1/2^s){μ(1)/1^s+μ(3)/3^s+μ(5)/5^s+μ(7)/7^s+…}
xの奇数乗部分を考える。
f(1)x = μ(1){f(1 )x^1 +f(2 )x^2 +f(3 )x^3 +f(4 )x^4 +…}
+μ(2){f(2 )x^2 +f(4 )x^4 +f(6 )x^6 +f(8 )x^8 +…}
+μ(3){f(3 )x^3 +f(6 )x^6 +f(9 )x^9 +f(12)x^12+…}
+μ(4){f(4 )x^4 +f(8 )x^8 +f(12)x^12+f(16)x^16+…}
+…
においてxにixを代入すると、虚数部分は
f(1)ix = μ(1){ f(1 )ix^1 -f(3 )ix^3 +f(5 )ix^5 -f(7 )ix^7 +…}
+μ(3){-f(3 )ix^3 +f(9 )ix^9 -f(15)ix^15+f(21)ix^21-…}
+μ(5){ f(5 )ix^5 -f(15)ix^15+f(25)ix^25-f(35)ix^35+…}
+μ(7){-f(7 )ix^7 +f(21)ix^21-f(35)ix^35+f(49)ix^49-…}
+…
iを消去すると
f(1)x = μ(1){ f(1 )x^1 -f(3 )x^3 +f(5 )x^5 -f(7 )x^7 +…}
+μ(3){-f(3 )x^3 +f(9 )x^9 -f(15)x^15+f(21)x^21-…}
+μ(5){ f(5 )x^5 -f(15)x^15+f(25)x^25-f(35)x^35+…}
+μ(7){-f(7 )x^7 +f(21)x^21-f(35)x^35+f(49)x^49-…}
+…
従って
m=2k-1
上記式において再度xにixを代入し、iを消去すると
m=2k-1
f(t)=1/t の場合、x=1においては
1 = Σk=1∞ (-1)^(k-1) μ(m) {1/(1m)-1/(3m)+1/(5m)-1/(7m)+…}
= Σk=1∞ (-1)^(k-1)(μ(m)/m){1/1-1/3+1/5-1/7+…}
= Σk=1∞ (-1)^(k-1)(μ(m)/m){π/4}
従って
4/π = Σk=1∞ (-1)^(k-1)μ(2k-1)/(2k-1)
4/π = μ(1)/1-μ(3)/3+μ(5)/5-μ(7)/7+…
4/π = 1/1+1/3-1/5+1/7+0/9+1/11-1/13-1/15-1/17+1/19+1/21+1/23+0/25+…
tan-1 x = x^1/1-x^3/3+x^5/5-x^7/7+… に対して同様の手法を適用すると
(1/2)ln((1+x)/(1-x)) = x^1/1+x^3/3+x^5/5+x^7/7+… に対して適用すると
x = Σk=1∞ {μ(2k-1)/(2(2k-1))} ln{(1+x2k-1)/(1-x2k-1)}
あるいは
ex= Πk=1∞ {(1+x2k-1)/(1-x2k-1)}μ(2k-1)/(2(2k-1))
e^x=(e^(x/2))^2 の関係を利用すれば
これらの原理を応用して作成した級数。
に対して
Σk=1∞μ(k)/ks = 1/ζ(s) を利用すれば
従って
同様な方法で求めた乗積。
同様な方法で求めた級数。
