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複合初等関数の展開

 

初等関数を組み合わせた関数を展開する。


より

    

    

    

    


    

    

    

    

    

 

    



xtan x に戻すことにより、次の式を得る。

             (-π/2<x<π/2)

従って

   (-π<x<π)

  (-π<x<π)

 

 

  より

                                                               (-1<x<1)

    

    


xsin x に戻すことにより、次の式を得る。

 (-π/2<x<π/2)

半角公式を利用すると

 (-π<x<π)



  を利用すると

x=1/2 とのきの式でyxにすれば

 

tan x tanh x の関係式より

     (-1<x<1)

 

参考: x→∞ のときの値から次の式が成り立つ。

    

     これはウォリスの公式の各平方数に1を加えたものになっている。

    

     ウォリスの公式は連分数として見ると、arctan x x→∞ のときの値に相当する。

    

     もう少し一般化すると、冒頭の式より

    

 


  であるから

    

 


であるので

 

同様に

 

ベルヌーイ数の母関数は次のようになる。

 

ベルヌーイ数は連分数から見ると単純な規則(2と奇数)で生成されることがわかる。

例えばB4までを考えると

従って B0=1, B2=1/6, B4=-1/30 となる。

 

更に詳しい内容は「ζ(k)と母関数 ベルヌーイ数の生成規則(1)」を参照。

 



ベルヌーイ数の母関数を奇数ではなくて自然数で構成した式。

 

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