複合初等関数の連分数展開

複合初等関数の展開

初等関数を組み合わせた関数を展開する。

と
より

xをtan x に戻すことにより、次の式を得る。

(-π/2<x<π/2)

従って

(-π<x<π)

(-π<x<π)

と

より

(-1<x<1)

xをsin x に戻すことにより、次の式を得る。

(-π/2<x<π/2)

半角公式を利用すると

(-π<x<π)

を利用すると

x=1/2 とのきの式でyをxにすれば

tan x と tanh x の関係式より

(-1<x<1)

参考: x→∞ のときの値から次の式が成り立つ。

これはウォリスの公式の各平方数に1を加えたものになっている。

ウォリスの公式は連分数として見ると、arctan x の x→∞ のときの値に相当する。

もう少し一般化すると、冒頭の式より

であるから

であるので

同様に

ベルヌーイ数の母関数は次のようになる。

ベルヌーイ数は連分数から見ると単純な規則(2と奇数)で生成されることがわかる。

例えばB₄までを考えると

従って B₀=1, B₂=1/6, B₄=-1/30 となる。

更に詳しい内容は「ζ(k)と母関数　ベルヌーイ数の生成規則(1)」を参照。

ベルヌーイ数の母関数を奇数ではなくて自然数で構成した式。