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二項展開(3)

 

      

 

これを導くためには級数を

 

 

と変形し、次の式を適用すればよい。

 

また 1/(1+x)^(-y)=(1+x)^y より

 

    

 

構成規則は次の式がわかりやすい。

 

  (-1<x<1)

第2項のx/2はこの場合は無くても同じ値なので

      (-1<x<1)

 

上記式を分解してxをx-1にすると

  (0<x<2)

xを1/xにして両辺をx 倍すると

   (1/2<x)

    

    

    

    

    

     この√2 は収束が非常に遅いが、判別級数は

       で発散するため、連分数は収束する。

    

 

このページの先頭の式で x=-1/2 とすると

従って

この式は分母が全て1である項に分解できる。

    

    

  の式と

y→0 の場合の (x^y-1)/y でもある ln x の式(「対数関数の展開」を参照 )

   (1/2<x)

から x^y の展開は'(x-1)とx'が繰り返し、'(k-y)とk'が係数となる次の式であることがわかる。

 

  (1/2<x)

x が 1+x の場合は

   (-1/2<x)

    

xのn乗根は

   (1/2<x)

xの立方根は

   (1/2<x)

 

分母が全て1になるケースは、ⁿ√の中が1/2より大の場合

   r=(x-1)/n

   

   

   

 

   

   

   

 

     2^(1/3) = 2/4^(1/3) の関係を利用して、2の立方根を自然数と偶数で表した式。

   

 

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