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三角関数の展開(1)

 

べき級数からsin,cos,tan とその逆関数を展開する。   (双曲線関数の展開も参照)

 

であるため

 

    

     黄金比と円周率の関係は  φ=1+2 sin(π/10) であるので

    

同様な方法で他の関数を展開すると

    

     x=1/2 のときの値より

    

     π=10 arcsin (1/2φ) より

    

 

    

分母に変数xの存在しない式は

     (-π/2<x<π/2)

     (-π/2<x<π/2)

     (-π/2<x<π/2)

この式はシンプルな半角公式になっている。

  

    

 

 

    

    

tan関数の無限乗積の式を連分数化し、変形を続けると

    

   (-1<x<1)

    (1<x)

      (-1<x<1)

    (1<x)

 

       (-1<x<1)

     x=1/√3  のときの値より

    

       (-1<x<1)

        φ は黄金比

 (-1<x<1)

 

       (-1<x<1)

 

             (-1<x<1)

 

arctan(x) = (y/x){1+(2/3)y+(2/3)(4/5)y²+(2/3)(4/5)(6/7)y³+…}  , y=x²/(1+x²)  より

    

arcsin x = arctan(x/√(1-x²)) を利用すると

 (-1/√2<x<1/√2)

    

 

arccos x = arctan(√(1/x²-1)) を利用すると

 (1/√2<x<1)

 

     これらの関数に関連した次の連分数を考える。

    

     分子がkとk+1の組み合わせで2項を1項に合体させれば

    

     分母を集めた判別級数は調和級数で発散するため、連分数は収束する。

 

     先頭の式で分子の数字が同一の2項を1項に合体させれば

    

 

     となり、ウォリスの積と見なす事ができ、値が判明した。

 

     その後の調査で、この連分数は既に知られていることがわかった。Another Continued Fraction for π 参照。

     ウォリスの積から直接変換する方法は「乗積の展開(2)」を参照。

分子の数字が同一の2項を1項に合体させれば

       (-1/√2<x<1/√2)

     π=10 arcsin ((φ-1)/2) より

    

 

       (1/√2<x<1)

 

       (1/√2<x<1)

 

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