ベルヌーイ数の生成規則(1)
generating rule for the Bernoulli numbers
ベルヌーイ数の生成規則を調べる。'2と奇数'や自然数の規則的な並びにより生成されることを示す。
ベルヌーイ数の指数型母関数を連分数で表現すると生成規則がわかり易い。指数関数は通常べき級数で扱われるが、それを連分数で表現すると次のようになる。
べき級数では自然数が構成要素であるのに対して、連分数では'2と奇数'が構成要素であるという特徴的な相違点がある。
上の式からベルヌーイ数の母関数は次のようになる。この場合は分母の関数ということになる。
ベルヌーイ数の母関数は、次のように奇関数部分と偶関数部分にはっきりと分かれる。
=.gif)
分母に階乗を持たない通常母関数(B0+B1x+B2x2+…)に関しては 「ベルヌーイ数の母関数」を参照。
tanh x/2 は奇関数、(x/2)/tanh x/2は偶関数であるので1以外(3以上)の奇数のベルヌーイ数が0になるのは明らかである。以降は偶数のベルヌーイ数を考える。
参考:ベルヌーイ数を最初に発表したのは 関孝和 である。この数はベルヌイ数あるいは関-ベルヌーイ数とも呼ばれることがある。
偶数のベルヌーイ数は連分数から見ると単純な規則(2と奇数)で生成されることがわかる。
例えばB4までを考えると
従って B0=1, B2=1/6, B4=-1/30 となる。
わかり易さのため22を省略するとB8 までの場合は
B10まで拡張して、更に簡略化した表現で奇数の参加状況を示す。
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B2 B4 |
B6 |
B8 |
B10 |
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13 13 35 |
13 35 57 |
13 35 57 79 (x1) |
13 35 57 79 911 (x1) |
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13 35 35 |
13 35 57 57 (x1) |
13 35 57 79 79 (x1) |
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13 35 35 57 (x2) |
13 35 57 57 79 (x2) |
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13 35 35 35 (x1) |
13 35 35 57 79 (x2) |
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13 35 57 57 57 (x1) |
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13 35 35 57 57 (x3) |
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13 35 35 35 57 (x3) |
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13 35 35 35 35 (x1) |
本来22倍である 3,7,11,…はそれぞれ同数(B2kに対してk個)含むので
となる。またB2kの生成には2k+1までの奇数と22kが分母に参加している事がわかる。
「ベルヌーイ数の母関数」での B0+B1x+B2x2+… に対する通常母関数
を上記と同様に展開すると、自然数を分母に持つ関係式を得る。
隣り合う自然数の和が奇数として現れる。
ベルヌーイ数の一般式
ベルヌーイ数の比較的簡単な一般式(一般項)が知られている。但し00=1 と定義する。
( k=0,1,2,3,… )
例えば
あるいは順序を変えて
( k=0,1,2,3,… )
例えば
最初の一般式は
:
等であるが、「級数と乗積 自然数の累乗の階差とゼータ関数」の結果より
:
等の式や
:
等の式も成り立つ。
二項係数を使用した次の式も知られている。Σ部分の値は整数であり、そのk倍がベルヌーイ数の約分前の分子となる。
( k=1,2,3,4,… )
B1={-1/(21(21-1))}{20(1*10)}
={-1/(2*1)}{1(1)}=-1(1)/(2*1)=-1/2
B2={ 2/(22(22-1))}{21(1*11)+20(1*11-1*21)}
={ 2/(4*3)}{2(1)+1(-1)}= 2(1)/(4*3)= 1/6
B3={-3/(23(23-1))}{22(1*12)+21(1*12-1*22)+20(1*12-2*22+1*32)}
={-3/(8*7)}{4(1)+2(-3)+1(2)}=-3(0)/(8*7)= 0
B4={ 4/(24(24-1))}{23(1*13)+22(1*13-1*23)+21(1*13-2*23+1*33)+20(1*13-3*23+3*33-1*43)}
={ 4/(16*15)}{8(1)+4(-7)+2(12)+1(-6)}= 4(-2)/(16*15)=-1/30
kが偶数の場合の分子と分母は次の通り。Σ部分の値をTとする。
k
T 2k(2k-1)
kT /(2k(2k-1))
kT 2k (2k-1)
2 1
12 1 / 6
1*21 22
* 1* 3
4
-2
240 -1 / 30 -2*22
24
* 3* 5
6 16
4032 1 / 42
3*25 26
* 7* 9
8 -272
65280 -1 / 30 -4*25
*17 28 * 15* 17
10 7936
1047552 5 / 66
5*29 *31 210*
31* 33
12
-353792 16773120 -691 /
2730 -6*210*691 212*
63* 65
14 22368256
268419072 7 / 6
7*213*43*127 214*127*129
16 -1903757312
4294901760 -3617 / 510 -8*212*257*3617
216*255*257
18 209865342976 68719214592 43867 /
798
:
:
20 -29088885112832 1099510579200 -174611 / 330
:
:
|T|はタンジェント数(Tangent numbers)であり、tan関数の展開に現れる。
tan x = (1/1!)x + (2/3!)x3 + (16/5!)x5 + (272/7!)x7 + (7936/9!)x9 + …
= (1/1 )x + (1/3 )x3 + ( 2/15)x5 + (17/315)x7 + (62/2835)x9 + …
Tはtanh関数の展開に現れる。
タンジェント数の更に簡単な式(参照「オイラー数とタンジェント数(1)」)を使用すれば
( k=1,2,3,4,… )
例えばB4の値は以下の通り。
B4= {4/( 24(24-1))}{ (4+6+4+1)13 - (6+4+1)23 + (4+1)33 - (1)43 }
= {4/(16(16-1))}{ 15*1 - 11*8 + 5*27 - 1*64 }
= {4/(16 * 15 )}(-2)
= -1/30
あるいは
( k=2,3,4,5,… )
B4= {4/( 24(24-1))}{ (6+4+1)13 - (4+1)23 + (1)33 }
= {4/(16(16-1))}{ 11*1 - 5*8 + 1*27 }
= {4/(16 * 15 )}(-2)
= -1/30
以下は二項係数を使用しないように既知の式を変形して得た式である。
ベルヌーイ数は分子が1の分数で表現できる。
分母の数字は 2,3,4,5,1,2,3,4 の様に循環している。Bkの( )内の最後の項は 1/(k+1) 倍される。
ベルヌーイ数Bkは1からk+1までの自然数の規則的な並びにより生成される。
B1=-(11/1!)(1/2)=-1/2
B2=-(12/1!)(1/2+2/3)+(22/2!)(1*2/3)=1/6
B3=-(13/1!)(1/2+2/3+3/4)+(23/2!)(1*2/3+2*3/4)-(33/3!)(1*2*3/4)=0
B4=-(14/1!)(1/2+2/3+3/4+4/5)+(24/2!)(1*2/3+2*3/4+3*4/5)
-(34/3!)(1*2*3/4+2*3*4/5)+(44/4!)(1*2*3*4/5)=-1/30
B5=-(15/1!)(1/2+2/3+3/4+4/5+5/6)+(25/2!)(1*2/3+2*3/4+3*4/5+4*5/6)
-(35/3!)(1*2*3/4+2*3*4/5+3*4*5/6)+(45/4!)(1*2*3*4/5+2*3*4*5/6)
-(55/5!)(1*2*3*4*5/6)=0
二項係数を使用しないベルヌーイ数の一般式。
(k=1,2,3,4,… )
偶数部分の小計と奇数部分の小計は殆ど等しく、その差がベルヌーイ数となる。
B4 = 1316/15 - 2633/30 = (2632 - 2633)/30 = -1/30
B5 = 17768/15 - 17768/15 = 0
B6 = 421360/21 - 842719/42 = (842720 - 842719)/42 = 1/42
B11 = 999469165709312/3465 - 999469165709312/3465 = 0
B12 = 15003702973101056/1365 - 30007405946202803/2730
= (30007405946202112 - 30007405946202803)/2730 = -691/2730
自然数の1からnまでのべき乗和 1k+2k+3k+…+nk は、0からkまでのベルヌーイ数と1からk+1までの自然数の規則的な並びにより求まるため、結局1からk+1までの自然数の規則的な並びで表現できる。例えば
13+23+33+…+n3
= B01*2*3 n4/4!-B12*3 n3/3!+B23 n2/2!-B3 n1/1!
= 1*2*3 n4/4!+(11/1!)(1/2)2*3 n3/3!+{-(12/1!)(1/2+2/3)+(22/2!)(1*2/3)}3 n2/2!
= n4/4+n3/2+n2/4
一見すると不規則で神秘的なベルヌーイ数も秩序を持った構造であることがわかる。