素数や素粒子の分布とマンデルブロー集合
マンデルブロー集合図は素数の分布や素粒子の分布(宇宙の大規模構造)との類似点が多い。そのような関連について調べる。
このページで扱うマンデルブロー集合図は、回数ではなく値を色付けした図形である。「マンデルブロー集合図の発生」を参照。
素数の分布との関連
初期値0のzにz2+c を7回代入した時の値を基にした図形と素数の間隔分布を示す。
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左図は|z|、右図は|tan-1z| に対して色付けをしている。最初の数個の間隔と、急に大きな値が出現する2つの間隔を説明するような図形である。本来は三角の形であったものが、それぞれ引っ張られたかのような感じがする。偶然の一致かも知れないが気になる図形である。本来のマンデルブロー集合との関連は
「素数とゼータ零点 素数の間隔(1),素数の間隔(2)」で調べている。
素粒子の分布(宇宙の大規模構造)との関連
次に素粒子の分布(宇宙における物質の分布、銀河の分布)はどうであろうか。ここでは100回代入した時のzの値を用いて調べる。
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左図は|z|、右図はその逆数|1/z| に対して色付けをしている。細かい模様を見るために実際はそれぞれ250倍している。右図を作成するプログラムは次の通り。
130 screen 3:locate 0,27
200 ' Mandelbrot set
220 for X=0 to 500
230 for Y=0 to 400
250 Z=0:C=(X-900)/600+#i*(Y-200)/600
260 for J=1 to 100
270 Z=Z*Z+C
280 if abs(Z)>10^10
then cancel for:goto 350
290 next
350 if Z<>0 then pset
(X,Y),int(abs(1/Z)*250)@7
370 next
380 next
右図を左から右方向に見ていくと、宇宙誕生初期のインフレ的に膨張する宇宙のようである。拡大図を見ると泡状の模様がはっきりと現れている。(その後の研究で泡状の模様は|1/z|により生じていることがわかった。「複素数の逆数の模様」を参照)
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以降は 「すばる望遠鏡で撮影した宇宙最古の大構造」 を参照して説明する。泡状の構造は 「現在の宇宙の大構造」 として知られているものである。銀河の集中している部分が 
の形をしているのが印象的だ。等高線の間隔の粗い平らな部分に銀河が集まって来たかの様である。
宇宙誕生初期の構造である 「原始宇宙の大構造」 は拡大図の左上近辺にある 
あるいはそれを横にした
と驚くほど似た形をしている。右側が頭で左側が尻尾とすると、尻尾が曲がりくねっている所などもそっくりだ。
母宇宙から子宇宙、孫宇宙へと無限に宇宙を作るmultiverseとの類似点を始め、マンデルブロー集合との類似点は多数見付けることができる。