複素数の模様
複素数zの絶対値 |z| は既にマンダラ的な図形要素を含んでいる。そしてその模様は非常に美しい。
ここでは複素数として扱っているが、実数(x,y)の平面であっても同じである。その場合は原点からの距離によって色を付けることになる。普通は同心円になると思って試さないが、現実には「色の点」には大きさがあるので完全な同心円にはならず、次図の様に十字等のかすかな模様が生じる。
連続量を標本化、ディジタル化(量子化)することが原因である。
十字架に代表される「十字形」や、3x3=9 の区画がある「九会曼荼羅」のイメージの原点とも言える。
広い範囲を粗く見渡して縮小し、「色の点」を同じ大きさにすると複雑で美しい模様が生じる。下記の縮小率 S はこのような意味である。「複素数の逆数の模様」では拡大率を使用するが、基本的な考え方は同様である。上記の図は S=1 の場合であり、そのままでは小さくて見にくい為に点を大きくしている。
マンダラ的図形要素は、複素数|z| 自身の性質である。実際の模様は次の通り。左から下記プログラムで縮小率に相当するSを101,103,105,107 としている。
(クリックで拡大可能)
最初の図では斜線と十字等の模様が現れている。
2番目の図では千手観音にも似た放射状の線が印象的だ。東大寺法華堂(三月堂)の本尊「不空羂索観音像」の光背や中央部の四角の形、顔の表情、長い耳、首の周りの曲線、冠や台座の形状等は非常に近い。線の太さや長さも特徴的だ。四隅の目立つ模様は蓮華、錫杖、日光菩薩、月光菩薩の位置に対応しているようだ。
不空羂索観音の頭部 (クリックで拡大可能)
最後の2つは仏教のシンボルである法輪、あるいはインド国旗に描かれている輪廻を象徴する車輪に似た模様だ。また映画「2001年宇宙の旅」の宇宙船 を思わせる形である。
UBASICプログラムは次の通り。
130 screen 3:locate
0,27:S=10^7
200 ' complex number
220 for X=0 to 400
230 for Y=0 to 400
250 Z=(X-200)*S+#i*(Y-200)*S
350 pset (X,Y),int(abs(Z))@7
370 next
380 next
上記プログラムでは色付けに整数化"int"と整数除算の余りを求める"@"(mod)を使用している。これらを使用しない図形の例を示す。左からSが4, 250, 500 である。
←(クリックで拡大可能) 
最初の図では十字の模様が現れている。
2番目の図はマンダラ的な非常に美しい模様である。教会のステンドグラスを思わせる。
最後の図、あるいは左の少し平滑化した拡大図は正に上から見た蓮の花だ。
仏教の経典には「池の中の蓮華、大きさ車輪のごとし。青き色には青き光、黄なる色には黄なる光、赤き色には赤き光、白き色には白き光あり。微妙香潔なり」と書かれているそうである。ゼロを発見したインドらしく、どこまでも数学的なイメージからの発想のようだ。
エジプトの神話では「原初の水に睡蓮の花が咲き、太陽神ラーが誕生して世界を創造した」そうである。
UBASICプログラムは次の通り。
130 screen 3:locate 0,27:S=500
200 ' complex number
220 for X=0 to 400
230 for Y=0 to 400
250 Z=(X-200)*S+#i*(Y-200)*S
350 pset (X,Y),abs(Z)
370 next
380 next
万華鏡の様に美しい複素数の絶対値。チベットの時輪曼陀羅(カーラチャクラ・マンダラ)に似た図形もある。
図形|z| (S=203〜226) 図形|z| (S=323〜362)
図形|z| (S=227〜250) 図形|z| (S=363〜402)
図形|z| (S=251〜274) 図形|z| (S=403〜472)
図形|z| (S=275〜298) 図形|z| (S=473〜542)
これらの模様は中国の古代鏡にも多く見つけることができる。例えば図形として特徴を比較し易い「方格規矩鏡」はS=306 の次の左図に近い。S=526 の拡大図である2番目の図でわかる通り、＋部分にはＴやＬの形が、Ｘ部分にはＶの形が現れ易く、TLV文様となる。右図は特徴的な8個の点を含むS=397の模様である。
複素数の模様は「ピタゴラス数の分布」に関係があるようだ。次はその例である。
仏像の光背 (左はその拡大図)
ここでの仏像は不空羂索観音像である。
「万物は数である」の思想で有名なピタゴラスに関係の深い数が、この様な形に現れるのは興味深い。
数学的な同心円は完全で理想的な円であるが、どこを見ても同じであるため退屈な図形だ。それを標本化して見た円は不完全ではあるが、美しい変化に富む生きた図形となる。