ベルヌーイ数とζ(2k)
Bernoulli numbers and zeta(2k)
ベルヌーイ数の母関数はB2kとζ(2k)の関係を含んでいる。ここでは母関数を部分分数展開してそれを調べる。またベルヌーイ数の生成規則で決まるζ(2k)の関係式を調べる。更に奇数･偶数の階乗や自然数との関係より、ベルヌーイ数を使用しないζ(2k)の一般式を求める。
(|x|<2π)
x2k の係数を比較して
つまり 
という良く知られた関係を導くことができた。
通常この関係はsin関数の級数展開と無限乗積展開の係数比較で導かれる。しかしベルヌーイ数の母関数(を部分分数展開したもの)自身がこの関係を含んでいるため、より直接的にベルヌーイ数との関係を示す事ができる。
「ベルヌーイ数の生成規則(1)」により、ζ(2k)の値は2と奇数を使用して次のように決まる。
奇数の指数の和はζ(2k)のとき2k-1と一定値になる(11を省略しなければ2kになる)。
これは「ベルヌーイ数の生成規則(1)」で示した奇数の参加状況を見ると、奇数が2k個参加していることで明らかである。
分母の奇数の個数をm とすると2≦m≦k で、各項の指数の最大値=k+2-m
であると思われる。
またζ(4)以上の場合、約分前の分母は1*3*3*5=45 の倍数となることがわかる。
有理数 ζ(2k)/π2k = Q2k に関しては奇数の階乗を使用した次の式が成り立つ。
1/6 = 1/ 3! Q2 = 1/3!
1/90 = 1/(3!6) -2/ 5! Q4 = Q2/3!- 2/5!
1/945 = 1/(3!90) -1/(5!6) +3/ 7! Q6 = Q4/3!-Q2/5!+ 3/7!
1/9450 = 1/(3!945)-1/(5!90)+1/(7!6)-4/ 9! Q8 = Q6/3!-Q4/5!+Q2/7!- 4/9!
上記式を導くには
x cot x = 1 - 2ζ(2)(x/π)2 - 2ζ(4)(x/π)4 - 2ζ(6)(x/π)6 - …
= 1 - 2Q2x2 - 2Q4x4 - 2Q6x6 - …
の関係を利用して、次式を係数比較すればよい。
sin x (x cot x) = x cos x
{x/1!-x3/3!+x5/5!-…}{1-2Q2x2-2Q4x4-2Q6x6-…}=x-x3/2!+x5/4!-x7/6!+…
参考: 1/6-1/90+1/945-1/9450+1/93555-…=1/(e2-1)
ζ(2k)の式は
ζ(2) = π2/3!
ζ(4) = ζ(2)π2/3!- 2π4/5!
ζ(6) = ζ(4)π2/3!-ζ(2)π4/5!+ 3π6/7!
ζ(8) = ζ(6)π2/3!-ζ(4)π4/5!+ζ(2)π6/7!- 4π8/9!
ζ(10)= ζ(8)π2/3!-ζ(6)π4/5!+ζ(4)π6/7!-ζ(2)π8/9!+ 5π10/11!
従ってζ(2k)は奇数の階乗の積を分母に持つ式で表すことができる。
上記式を規則的に表現すると
階乗の数字は偶数に分割した数字に1を加えたものである。例えば
6=2+2+2 より 3!3!3!
6=2+4=4+2 より 3!5! と 5!3!
6=6 より 7!
分母の最後の数字は!の個数である。
二項係数やベルヌーイ数を使用しないζ(2k)の一般式は次の通り。
この式を導くには次式 (「ζ(k)の母関数(対数関数)」を参照 )
ln(x/sin x) = ζ(2)x2/(1π2) + ζ(4)x4/(2π4) + ζ(6)x6/(3π6) + …
= {x2/3!-x4/5!+x6/7!-…}/1 + {x2/3!-x4/5!+x6/7!-…}2/2 + …
を係数比較すればよい。
別の方法として
ln(x/sin x) = 22B2x2/(2!2) - 24B4x4/(4!4) + 26B6x6/(6!6) - …
との係数比較によって得られるベルヌーイ数の一般式
を経由して導くこともできる。
ζ(2k)を偶数の階乗で表した一般式。ベルヌーイ数の偶数分割による式から導ける。
例えば
簡単な自然数の積和で表したζ(2k)の一般式。
k,n1,n2,… は自然数
Σ部分は「1から始まり1で終了する、隣同士の差が1である2k-1個の自然数の積和」である。
例えば
