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ζ(k)の母関数(対数関数)

generating functions for zeta(k)

 

関数のべき級数展開がζ(k)を含む、つまりζ(k)の母関数になっているものを調べる。

ベルヌーイ数B_2kはζ(2k)に変換できるため、B_2kをべき級数の展開係数の一部として持つ関数がその候補となる。関数としては  tan, cot, csc, tanh, coth, csch 等がある。これらの展開式は良く知られているため、ここでは対数ガンマ関数を調べる。これからあまり知られていない対数sin関数の式も導くことができる。

 

ln(1+x)=1-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…  を利用する。γをオイラーの定数として

これをx^k でまとめると

従って

  (-1<x<=1)

    

    

    

     この二式の和より

    

ln Γ(1-x) は

   (-1<=x<1)

先程の ln Γ(1+x) を加えれば

従って

   (0<x<1)

    

 

対数をはずすと三角関数と指数関数の関係の一種である次式を得る。

  (-π<x<π)

 

cos x=(sin 2x)/(2sin x)  と  tan x=(2sin² x)/(sin 2x)  より  -π/2<x<π/2  で

 

ガンマ関数の対数の導関数ψ(x)はディガンマ関数と呼ぶ。

     digamma functionの定義

ln Γ(x) = -ln x -γx +ζ(2)x²/2 -ζ(3)x³/3 +ζ(4)x⁴/4 -… であるので

ψ(x) = -1/x -γ +ζ(2)x -ζ(3)x² +ζ(4)x³ -…

従って

ψ(x) +1/x +γ = ζ(2)x -ζ(3)x² +ζ(4)x³ -…

 

ψ(1+x) = ψ(x) +1/x の関係を用いると

ζ(k)の母関数(級数型関数) で求めた式f₂(x)は

xを-xにした式の両辺をxで割れば

 

級数型関数として求めた母関数は、実はディガンマ関数で表せる関数であり、このページで求めた式の別側面であった。

 

参考:上記の式より

    

     ψ(1+n)+γ は調和級数の部分和 Σ_k=1ⁿ 1/k に等しいので

    

調和級数の部分和Σ_k=1ⁿ 1/kを表す関数を H(n) とする。

 

自然数nを実数xに拡張した関数を

とするのは自然である。グラフは左図の通り。

 

この関数がζ(k)の母関数となる。

 

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