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ζ(k)の母関数(級数型関数)

generating functions for zeta(k)

 

ベルヌーイ数の母関数はζ(2k)の母関数でもあった。

        (|x|<2π)

従って

       (|x|<1)

 

ここでは奇数も含めたζ(k)  (k=2,3,4,5,…) の母関数を考える。
そして母関数よりζ(k)に関する級数和を求めることにする。

 

1/(1-x)=1+x+x²+x³+x⁴+… (|x|<1)  を利用してその母関数を作ることができる。

   (|x/n|<1)

       であるため

 

偶数と奇数に対応する母関数

 

従って

     (|x|<1)

     x=1/2 と x=-1/2 の値より

    

    

ζ(3)からの母関数は

x=1/2 と x=-1/2 の値より

    

    

ζ(4)からの母関数は

     x=1/2 の値より

    

ζ(k)からの母関数を f_k(x)として、f₂(1/2)+f₃(1/2)+f₄(1/2)+f₅(1/2)+… の値より

    

またこれから

    

    

    

f₂(x) のxにixを代入すると

この式は次の「偶数に対応する母関数」と「奇数に対応する母関数」で更に使用する。

 

f₂(x) から x²/(1-x)=x²+x³+x⁴+… を引くと

     (|x|<2)

     x=1 の値より

    

     x=1/2 の値より

    

偶数に対応する母関数

 

f₂(ix) の実数部分から

この式は冒頭でベルヌーイ数の母関数から導いた式に等しい。

 

再度xにixを代入すると

 

    

    

    

    

    

 

「級数と乗積　三角関数の乗積と階乗」で求めた関係

1!={1ζ(2)/2¹+3ζ(4)/2³+5ζ(6)/2⁵+…}/{(2²-1)ζ(2)/2¹-1}

つまり  1ζ(2)/2²+3ζ(4)/2⁴+5ζ(6)/2⁶+…=π²/8-1/2  と組み合わせれば

    

参考: 

        でもある。

      「級数と乗積　平方数の逆数和」を参照。

 

ベルヌーイ数で表現すると  より

    

またπを2に置き換えた次式をこのページの先頭式より導くことができる。

    

奇数に対応する母関数

 

f₂(ix) の虚数部分から

    

 

再度xにixを代入すると

 

 

    

 

上記の式を加えて2で割れば

    

 

以上の式より

    

 

関連リンク

 

[1]   Riemann Zeta Function (mathworld wolfram)

 

[2]   数学の研究  ゼータ関数のいくつかの点について その１,その２ (2003/08/31 追加)

     このリンク先は上記と似た内容の記載があり、しかも当サイトの開設日(8/10)よりも20日程早く発表されていた事が検索により本日(8/31)判明したので追加しました。

 

     その後奇数ゼータの値に関して、具体的な式を多数報告されていて参考になります。

 

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