オイラー数とタンジェント数

目次次

オイラー数とタンジェント数(1)

Euler numbers and tangent numbers

オイラー数とタンジェント数の一般式や相互関係を調べる。更に整数の分割に関係した生成規則を示す。

この二種類の数は次の指数型母関数により定義される。

オイラー数 2/(e^x+e^-x)= 1 /0!- 1x²/2!+ 5x⁴/4!- 61x⁶/6!+1385x⁸/8!+…

タンジェント数 tan x = 1x/1!+ 2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+7936x⁹/9!+…

E₀=1, E₂=-1, E₄= 5, E₆=-61, E₈=1385, E₁₀=-50521,… E₁=E₃=E₅=E₇=E₉=…=0

T₁=1, T₃= 2, T₅=16, T₇=272, T₉=7936, T₁₁=353792,… T₀=T₂=T₄=T₆=T₈=…=0

以下では符号が定義と異なる数も含めて、オイラー数やタンジェント数と呼ぶことがある。

両母関数の同一位置の係数の絶対値の比はπ/2に近付く。

例えば (1385/8!) / (7936/9!) = 9*1385/7936 これの2倍の値は3.14138…である。

ジグザグ数(zigzag number)

オイラー数はzig number、タンジェント数はzag numberとも呼ばれ、左図の三角形により生成される。その規則は

・頂点は1であり、0から始めて右左右左とジグザグに値を決める

・進行方向の斜め上の数を加えて次の数を作る(例:10+4=14)

この数は下図の折れ線で示す交代順列の個数に等しい。

オイラー数とタンジェント数には他にも不思議な関係がある。

x=1/10⁵ の時、係数がオイラー数である式の値は以下の通り。

1x -1x³ + 5x⁵ -61x⁷ +1385x⁹ -50521x¹¹ +2702765x¹³

0.00000999999999900000000049999999939000000138499999494790002702765

y=1/(10⁵-1) の時、係数がタンジェント数である式

y -1y² + 2y⁴ -16y⁶ + 272y⁸ - 7936y¹⁰ + 353792y¹² の値には

1 5 1385 …

0.0000099999999990000000004999999993900000013849999949479000270298869…

0.9999900000000009999999995000000006099999986150000050520999729701130… (補数)

-1 -61 -50521 …

オイラー数が現れる。この値は上記式の値に極めて近い。

z=1/(10⁵+1) の時、係数がオイラー数である式

1z -1z³ + 5z⁵ -61z⁷ +1385z⁹ -50521z¹¹ +2702765z¹³ の値には

(1) 2 272 353792 …

0.0000099999000000000199999999840000000271999999206400003537919977633…

0.9999900000999999999800000000159999999728000000793599996462080022366… (補数)

-1 -16 -7936 …

タンジェント数が現れる。

nが大きい場合、Σオイラー数/n^2j-1 と 1/(n-1)+Σタンジェント数/(n-1)^2j は値が極めて近い。

例えば

1/ n -1/ n³ + 5/ n⁵ -61/ n⁷ +1385/ n⁹ と

1/(n-1)-1/(n-1)²+ 2/(n-1)⁴-16/(n-1)⁶+ 272/(n-1)⁸ の値は

n=10⁵ の時

0.000009999999999000000000499999999390000001385

0.0000099999999990000000004999999993900000013850793628839826900318546…

n=10⁵+1 の時

0.0000099999000000000199999999840000000271999999206450518980673160418…

0.0000099999000000000199999999840000000272

三角関数の性質から、二項係数を使用したオイラー数とタンジェント数の関係式を導く。

正の符号に統一したオイラー数とタンジェント数の指数型母関数は

1/cos x = 1 + 1x²/2!+ 5x⁴/4!+ 61x⁶/6!+…

tan x = 1x/1!+ 2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+…

sin x / cos x = tan x であるので

{x/1!-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…}{1+1x²/2!+ 5x⁴/4!+61x⁶/6!+…}

= 1x/1!+ 2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+…

の左辺を展開して係数を比較すれば、タンジェント数を二項係数とオイラー数で表すことができる。

1 = (₁¹) 1

2 = (₁³) 1-(₃³) 1

16 = (₁⁵) 5-(₃⁵) 1+(₅⁵) 1

272 = (₁⁷) 61-(₃⁷) 5+(₅⁷) 1-(₇⁷) 1

7936 = (₁⁹)1385-(₃⁹)61+(₅⁹) 5-(₇⁹) 1+(₉⁹) 1

cos x tan x = sin x であるので

{1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…}{1x/1!+2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+…}

=x/1!-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…

の係数比較によりタンジェント数の漸化式を得る。

2 = (₂³) 1- 1

16 = (₂⁵) 2-(₄⁵) 1+ 1

272 = (₂⁷) 16-(₄⁷) 2+(₆⁷) 1- 1

7936 = (₂⁹)272-(₄⁹)16+(₆⁹) 2-(₈⁹) 1+ 1

(sin x tan x) + cos x = 1/cos x であるので

{x/1!-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…}{1x/1!+2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+…}

+{ 1 -x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…}=1+1x²/2!+5x⁴/4!+61x⁶/6!+1385x⁸/8!+…

を係数比較して、オイラー数を二項係数とタンジェント数で表すことができる。

1 = (₁²) 1- 1

5 = (₁⁴) 2-(₃⁴) 1+ 1

61 = (₁⁶) 16-(₃⁶) 2+(₅⁶) 1- 1

1385 = (₁⁸)272-(₃⁸)16+(₅⁸) 2-(₇⁸) 1+ 1

cos x / cos x = 1 を利用すれば

{1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…}{1+1x²/2!+ 5x⁴/4!+61x⁶/6!+…} = 1

の係数比較によりオイラー数の漸化式を得る。

1 = (₂²) 1

5 = (₂⁴) 1-(₄⁴) 1

61 = (₂⁶) 5-(₄⁶) 1+(₆⁶) 1

1385 = (₂⁸)61-(₄⁸) 5+(₆⁸) 1-(₈⁸) 1

係数がタンジェント数である式にオイラー数が現れる理由は以下の通り。

y=1/(10^m-1) において h=1/10^m とすると y=1/(1/h-1)=h/(1-h)=h+h²+h³+h⁴+… であるため

f_T(y) = y -1y² + 2y⁴ -16y⁶ + … の式は

y¹ = (₀⁰)1h+(₁¹)1h²+(₂²)1h³+(₃³)1h⁴+(₄⁴)1h⁵+(₅⁵) 1h⁶+(₆⁶) 1h⁷+…

-1y² = -(₀¹)1h²-(₁²)1h³-(₂³)1h⁴-(₃⁴)1h⁵-(₄⁵) 1h⁶-(₅⁶) 1h⁷-…

+2y⁴ = (₀³)2h⁴+(₁⁴)2h⁵+(₂⁵) 2h⁶+(₃⁶) 2h⁷+…

-16y⁶ = -(₀⁵)16h⁶-(₁⁶)16h⁷-…

f_T(y) = 1h + 0h² - 1h³ + 0h⁴ + 5h⁵ + 0h⁶ - 61h⁷ +…

h^2jの係数は cos x tan x = sin x から得られるタンジェント数の式により0となる。

h^2j-1の係数は (sin x tan x)+cos x = 1/cos x から得られる式によりオイラー数となる。

係数がオイラー数である式にタンジェント数が現れる理由は以下の通り。

z=1/(10^m+1) において h=1/10^m とすると z=1/(1/h+1)=h/(1+h)=h-h²+h³-h⁴+… であるため

f_E(z) = 1z -1z³ + 5z⁵ -61z⁷ + … の式は

1z¹ = (₀⁰)1h-(₁¹)1h²+(₂²)1h³-(₃³)1h⁴+(₄⁴)1h⁵-(₅⁵)1h⁶+(₆⁶) 1h⁷-…

-1z³ = -(₀²)1h³+(₁³)1h⁴-(₂⁴)1h⁵+(₃⁵)1h⁶-(₄⁶) 1h⁷+…

+5z⁵ = (₀⁴)5h⁵-(₁⁵)5h⁶+(₂⁶) 5h⁷-…

-61z⁷ = -(₀⁶)61h⁷+…

f_E(z) = 1h - 1h² + 0h³ + 2h⁴ + 0h⁵ - 16h⁶ + 0h⁷ +…

h^2jの係数は sin x / cos x = tan x から得られる式によりタンジェント数となる。

h^2j+1の係数は cos x / cos x = 1 から得られるオイラー数の式により0となる。

これらの式は両者の興味深い関係を示している。

多くの三角関数や双曲線関数の展開は、係数にベルヌーイ数を含むが、分数であるためわかりにくい。一方、タンジェント数は整数であるためわかりやすい。

両者には T_k-1 = 2^k(2^k-1)|B_k|/k ( k=2,3,4,5,… ) の関係がある。

以下に三角関数の展開例を示す。

tan x = 1x/1!+ 2x³/3!+16x⁵/5!+272x⁷/7!+… ← 名称が由来する指数型母関数

tan²x = 2x²/2!+16x⁴/4!+272x⁶/6!+…

1/cos²x = 1 + 2x²/2!+16x⁴/4!+272x⁶/6!+… ← tan x の導関数

1/sin²x = 1/x²+ 1/((2²-1)0!)+ 2x²/((2⁴-1)2!)+16x⁴/((2⁶-1)4!)+272x⁶/((2⁸-1)6!)+…

1/tan²x =-1+1/x²+ 1/((2²-1)0!)+ 2x²/((2⁴-1)2!)+16x⁴/((2⁶-1)4!)+272x⁶/((2⁸-1)6!)+…

1/tan x = 1/x- 1x/((2²-1)1!)- 2x³/((2⁴-1)3!)-16x⁵/((2⁶-1)5!)-272x⁷/((2⁸-1)7!)-…

sin x = xe^{- 1x²/((2²-1)2!)- 2x⁴/((2⁴-1)4!)-16x⁶/((2⁶-1)6!)-272x⁸/((2⁸-1)8!)-…}

cos x = e^{- 1x²/2!- 2x⁴/4!-16x⁶/6!-272x⁸/8!-…}

タンジェント数の一般式は、自然数のべき乗と二項係数で表すことができる。

( k=2,3,4,5,… )

例えばT₃とT₅の場合は

T₃= | {(₁⁴)+(₂⁴)+(₃⁴)+(₄⁴)}1³ - {(₂⁴)+(₃⁴)+(₄⁴)}2³ + {(₃⁴)+(₄⁴)}3³ - {(₄⁴)}4³ |

　= | (4+6+4+1)1³ - (6+4+1)2³ + (4+1)3³ - (1)4³ |

　= | 15*1 - 11*8 + 5*27 - 1*64 |

　= | -2 |

　= 2

T₅= | (6+15+20+15+6+1)1⁵-(15+20+15+6+1)2⁵+(20+15+6+1)3⁵-(15+6+1)4⁵+(6+1)5⁵+(1)6⁵ |

　= | 63*1 - 57*32 + 42*243 - 22*1024 + 7*3125 - 1*7776 |

　= 16

T₂,T₄,…の偶数の場合は値が0になる。

T₂= | (3+3+1)1² - (3+1)2² + (1)3² |

　= | 7*1 - 4*4 + 1*9 |

　= 0

T₄= | (5+10+10+5+1)1⁴ - (10+10+5+1)2⁴ + (10+5+1)3⁴ - (5+1)4⁴ + (1)5⁴ |

　= | 31*1 - 26*16 + 16*81 - 6*256 + 1*625 |

　= 0

上記式は項数を減らすことができる。

( k=2,3,4,5,… )

例えばT₃とT₄の場合は

T₃= | (6+4+1)1³ - (4+1)2³ + (1)3³ |

　= | 11*1 - 5*8 + 1*27 |

　= | -2 |

　= 2

T₄= | (10+10+5+1)1⁴ - (10+5+1)2⁴ + (5+1)3⁴ - (1)4⁴ |

　= | 26*1 - 16*16 + 6*81 - 1*256 |

　= 0

「級数と乗積　二項係数の級数とゼータ関数」の階乗の式を使用して、項数を更に減らすことができる。

( k=2,3,4,5,… )

ただしk=2,3ではΣの部分の値は0とする。例えばT₁からT₅までの場合は

T₁= |-1(1!) | = 1

T₂= | 0(2!) | = 0

T₃= | 1(3!) + 4{-(1)1³ } | = | 6 - 4 | = 2

T₄= | 2(4!) + 4{ (3+1)1⁴ -(1)2⁴ } | = | 48 + 4(4-16) | = | 48 - 48 | = 0

T₅= | 3(5!) + 4{-(6+4+1)1⁵ +(4+1)2⁵ -(1)3⁵ } | = | 360 + 4(-11+160-243) | = 16

0ではない奇数のタンジェント数は

( k=0,1,2,3,… )

ただしk=0ではΣの部分の値は0とする。例えばT₁からT₇までの場合は

T₁= 1! = 1

T₃= 3! - 4{ (1)1³ } = 6 - 4 = 2

T₅= 5! - 4{-(5+1)1⁵ + (1)2⁵ } = 120 - 4(-6+32) = 16

T₇= 7! - 4{ (21+7+1)1⁷ - (7+1)2⁷ + (1)3⁷ } = 5040 - 4(29-1024+2187) = 272

あるいは

( k=0,1,2,3,… )

T₁= (1)1¹ = 1

T₃=-(5+1)1³ + (1)2³ = -6 + 8 = 2

T₅= (21+7+1)1⁵ - (7+1)2⁵ + (1)3⁵ = 29 - 256 + 243 = 16

T₇=-(84+36+9+1)1⁷ + (36+9+1)2⁷ - (9+1)3⁷ + (1)4⁷ = -130+5888-21870+16384 = 272

オイラー数の一般式は、半整数のべき乗と二項係数で表すことができる。

タンジェント数が二項係数と整数のべき乗の級数であるのに対して

( k= 1,2,3,… )

オイラー数は二項係数と半整数のべき乗の級数である。

( k=0,1,2,3,… )

例えば

T₃ = | 15* 1 ³ - 11* 2 ³ + 5* 3 ³ - 1* 4 ³ | = 2

E₃ = 15*0.5³ - 11*1.5³ + 5*2.5³ - 1*3.5³ = 0

T₄ = | 31* 1 ⁴ - 26* 2 ⁴ + 16* 3 ⁴ - 6* 4 ⁴ + 1* 5 ⁴ | = 0

E₄ = 31*0.5⁴ - 26*1.5⁴ + 16*2.5⁴ - 6*3.5⁴ + 1*4.5⁴ = 5

0ではない偶数のオイラー数は、より少ない項数で表すことができる。

( k=0,1,2,3,… )

E₄ = (15+6+1)0.5⁴ - (6+1)1.5⁴ + (1)2.5⁴ = 5

E₆ = (56+28+8+1)0.5⁶ - (28+8+1)1.5⁶ + (8+1)2.5⁶ - (1)3.5⁶ = -61

引数が偶数の場合はオイラー数を返し、奇数の場合はタンジェント数を返す関数。

800   ' function : Euler or Tangent number (k=0,2,…,796) (k=1,3,…,953)
810   fnET(K)
820   local C=1,D=1,H,J,M,N,S
830   if even(K) then H=1//2:N=(K+2)//2 else N=(K+1)//2
840   for M=N to 1 step -1
850     S+=(-1)^(M-1)*D*(M-H)^K
860     C*=(N+1+M-2*H)//(N+1-M):D+=C
870   next
880   if odd(K) then S=abs(S)
890   return(S)

for n=0 to 13:?.ET(n);:next
   1 1 -1 2 5 16 -61 272 1385 7936 -50521 353792 2702765 22368256

?222*.ET(110)/.ET(111)
-3.141592653589793238462643383279502884197169399375105775094318529821428104

オイラー数とタンジェント数は共に整数の分割と関係が深い。ここでは加算の順序が違うものは異なるものとする。

偶数を偶数分割する場合、8以下では次のケースがある。

2=2 4=4 6=6 8=8 8=4+2+2=2+4+2=2+2+4

4=2+2 6=4+2=2+4 8=6+2=2+6 8=2+2+2+2

6=2+2+2 8=4+4

分子を左辺の階乗に、分母を右辺の分割した数の階乗の積にした項の和はオイラー数となる。ただし分母の!の数が1個増加する毎に符号を反転させる。

上記の各項を2^m倍したものはタンジェント数となる。mは分割前の偶数から分母の!の個数を引いた数とする。

これらの式が成立する理由は以下の通り。

S=sin x , C=cos x と略記し、1/C²=1+S²+S⁴+S⁶+… の係数を比較する。

1/C² = T₁x⁰/0! + T₃x²/2! + T₅x⁴/4! + T₇x⁶/6! + …

S² = {2²x²/(2!) - 2⁴x⁴/(4!) + 2⁶x⁶/(6!) - … }/2

S⁴ = {2⁴x⁴/(2!2!) - 2⁶x⁶/(4!2!) - 2⁶x⁶/(2!4!) + …}/2²

S⁶ = {2⁶x⁶/(2!2!2!) - …}/2³

左辺のx⁶の係数は T₇/6! である。右辺のx⁶の項は x⁶,x⁴⁺²,x²⁺⁴,x²⁺²⁺² のように偶数の和が6になるものの集まりである。逆の見方をすれば、6を偶数で分割する方法の項を集めればよい。

従って T₇/6! = 2^6-1/6! - 2^6-2/(4!2!) - 2^6-2/(2!4!) + 2^6-3/(2!2!2!) が成立する。

s=sin(x/2) と略記すると、C=1-2s² であるので 1/C=1+2s²+2²s⁴+2³s⁶+… と展開できる。

1/C = E₀x⁰/0! - E₂x²/2! + E₄x⁴/4! - E₆x⁶/6! + … であり、2s²,2²s⁴,2³s⁶,…は係数に2ⁿを含まない形式であるので、オイラー数に関しても同様に成立する。

分母にある!の個数で割った、より単純な式もタンジェント数となる。

次式を係数比較して導くことができる。

ln C = -T₁x²/2! - T₃x⁴/4! - T₅x⁶/6! - … = (C-1)/1 - (C-1)²/2 + (C-1)³/3 - …

自然数を奇数分割する場合、分母の!の数が2個増加する毎に符号を反転させた項の和は、オイラー数あるいはタンジェント数になる。

1=1 3=3 5=5

3=1+1+1 5=3+1+1=1+3+1=1+1+3

5=1+1+1+1+1

2=1+1 4=3+1=1+3 6=5+1=1+5

4=1+1+1+1 6=3+3

6=3+1+1+1=1+3+1+1=1+1+3+1=1+1+1+3

6=1+1+1+1+1+1

自然数nを奇数で分割する場合の分割数をf(n)とすると

f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3, f(5)=5, f(6)=8, f(7)=13, f(8)=21, f(9)=34, …

である。奇数による分割数はフィボナッチ数に等しいようだ。

これらの式が成立する理由は偶数分割の場合と同様である。使用する式は以下の通り。

S/C² = -E₂x¹/1! + E₄x³/3! - E₆x⁵/5! + … = S+S³+S⁵+…

1/C² - 1 = T₃x²/2! + T₅x⁴/4! + T₇x⁶/6! + … = S²+S⁴+S⁶+…

S = x¹/(1!) - x³/(3!) + x⁵/(5!) - …

S² = x²/(1!1!) - x⁴/(3!1!) - x⁴/(1!3!) + x⁶/(5!1!) + x⁶/(1!5!)+ x⁶/(3!3!) - …

S³ = x³/(1!1!1!) - x⁵/(3!1!1!) - x⁵/(1!3!1!) - x⁵/(1!1!3!) + …

S⁴ = x⁴/(1!1!1!1!) - …

ただし S=sin x , C=cos x , T=tan x の略記を使用している。

オイラー数は奇数と関係が深く、タンジェント数は偶数と関係が深い。

	オイラー数	タンジェント数
値 (0と+1を除く)	奇数で最後の数字は1と5	偶数で最後の数字は2と6
値を含む代表的な級数	1/1^2n-1-1/3^2n-1+1/5^2n-1-…	1/2²ⁿ-1/4²ⁿ+1/6²ⁿ-… ^**
べき乗級数による一般式	半整数(2倍は奇数)のべき乗	整数(2倍は偶数)のべき乗
奇数分割による一般式	奇数を分割した階乗の式	偶数を分割した階乗の式
三角関数による母関数	S¹+S³+S⁵+… , 1/C	S²+S⁴+S⁶+… , 1/C² , T