ゼータ関数の奇数値ζ(2k+1)

odd zeta values zeta(2k+1)

 

これまで複数のζ(k)で構成される級数和を求めてきたが、ここでは単独のζ(2k+1)の値を調べる。そして新たに見つけたζ(3)やζ(5)の式を紹介する。


ζ(3)の値   zeta(3)

 

「ζ(k)の母関数(級数型関数)」で求めた結果を利用すると

 

ζ(3)の値を極限値として求めると

乗積の極限としては


ζ(3)=1.2020569031… を有限個の既知の数値で表すのは困難であるが、調べてみると
8 ln 2 - 2
ζ(3)= 3.141063…となるのは偶然とは思えない。これを手掛りに近い値を作ると

 

参考:  でもある。オイラーによる発散級数の式

     ζ(3)=4π2(12ln 1+22ln 2+32ln 3+も似た形式であるのは興味深い。

     また  の式も彼は発見している。

 

この積分表示の式を、より具体的な級数に展開した式が[2]の杉岡氏のサイトにあるので紹介する。

  

以上「ゼータ関数のいくつかの点について   その7」より引用

 

オイラーの式を具体化した非常にシンプルな式である。この式は[8]にもある。


(2003/10/04)

上の式をv=(x-1)/x のとき ln x = v+v2/2+v3/3+v4/4+… を利用して変形すると、ζ(2n)を使用しない式になる。

 

この式は次のように表すこともできる。

(1-1/n)n nが大きくなるにつれて 1/e に近付くことで有名である。

以前に求めたζ(3)の近似値  も偶然ではなく、上の式と関係があるようだ。

 

上の式は黒川信重教授による三重三角関数を用いた表現と同じものである。[3]参照。

同じものとの指摘は杉岡氏よりありました。情報ありがとうございます。

三重三角関数の    を用いると 

これを展開すると先程の式になる。結局

  オイラーによる積分式 → ζ(2n)による級数式 → 三重三角関数による表現式

と変形されてきたことになる。

 

(2003/10/08)

ζ(3)の新しい表現を見つけた。先に結果を書くと

 

この数字の並びはウォリスの積であるので、πを積で表示すると

ζ(3)の乗積での構造が更に明らかになった。

 

対数の和として級数表現すると

これをln 1,ln 2,ln 3,…でまとめると正しく収束しないが次の式になる。

オイラーによる発散級数の式 ζ(3)=4π2(12ln 1+22ln 2+32ln 3+) と比較すると、奇数部分がマイナスで1/2を加算した形であるのが興味深い。



(2003/11/28)

上記発散級数は ζ(3)=-4π2ζ'(-2) という関数等式と ζ'(s)=-Σln k/ks (k=1∞) の式から出てくる。驚いたことにオイラーは私が得た級数に更に似た級数を導いていたことがわかった。日本数学協会の機関誌である「数学文化」の第1号は円周率πの特集号であるが、その中の「逆数の冪級数と元の級数の間の見事な関係についての考察」(高田加代子/)によるとオイラーは次の式を示している。116ページの式であるが元の式を少しだけ変形している。

1-1/23+1/33-1/43+=3π2/7*{-12ln 1+22ln 2-32ln 3+42ln 4-}  (Euler)

1+1/33+1/53+1/73+= π2/2*{-12ln 1+22ln 2-32ln 3+42ln 4-}  (Euler)

これをζ(3)に書き直せば次の式になる。

この式は先頭の係数 4π2/7 が一致し、奇数部分がマイナスであるので、より近い式である。

 

(2009/08/13)

上記内容の英訳はweb上にある。該当式は  ページ21 である。

 Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series (E 352)

 

(2004/07/10)

またフランス語のページがある。

 Remarques sur un beau rapport ....   該当式は ページ103 104 である。

対数の ln "l "となっているため分数に見える ( 32ln 3 32l 3 )



(2003/10/08)

上記式の導き方を次にまとめる。

 

次のオイラーの式を使用する。参照[8],[6](この式は後に Ramaswami に、もっと最近では Ewell によって再発見されたらしい。[5]では Ewell の発見となっている。)

  (Euler)

 

参考:この式は[2]の杉岡氏のサイトにある次の式からも導ける。

     ζ(3)(2π^2/7)-log π + 3/2 +4Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)2^(2n)}]
    
               (n1

     ζ(3)(2π^2/7)log π - 1/2 - Σζ(2n/n(n + 1)2^(2n)}]
    
               (n1

     以上「ゼータ関数のいくつかの点について   その7」より引用

     この両式の加算割る2 ln π を消去すると同じ結果になる。

 

オイラーの式でζ(2n)を展開するために x2/(1*2)+x4/(3*4)+x6/(5*6)+x8/(7*8)+… の関数を求めると

1/2*ln{(1-x)^(1-x)*(1+x)^(1+x)} であるので

x2/(3*4)+x4/(5*6)+x6/(7*8)+ = 1/(2x2) ln{(1-x)^(1-x)*(1+x)^(1+x)}-1/2

この式を用いてζ(2n)を展開すると

乗積表現をすると

以前見た三重三角関数での表現式を少し変形すれば

 

この両式の加算割る2  e を消去すると、目的の式になる。


(2003/10/15)

また ζ(3)=2π2/7{ln 2+Σ…} の式と、下にある ζ(3)=4π2/9{(ln 2)/2+Σ…} の式からln 2 を消去すると、最初の係数が更にシンプルな式を得ることができる。(2003/10/20 追記:この式は[8]の論文の (5.4)式でn=1 としたケースに一致する。)

 

参考:ln 2 は次の級数和と置き換えることができる。

     

 

(2003/10/18)

ベルヌーイ数でζ(3)を表現すると次の式になる。

    と比較すると極めて似た形式である。

階乗部分が+1され、2(2n-1)2がベルヌーイ数部分の-2に移動したような形式である。

 ζ(3)=B01π2/3! - B23π4/5! + B45π6/7! - B67π8/9! + B89π10/11! - B1011π12/13! +

規則正しい数字の配列により、ベルヌーイ数の不思議さを改めて感じる。

 

 ζ(3)=π2/6 -π4/240 -π6/30240 -π8/2177280 -π10/133056000 -π12/7472424960 -

最初のπ2/6 -π2ζ(0)/3 であるがζ(2)と等しく、一個左にずれた形にも解釈できる。その式はπが消去されて

 ζ(3)=ζ(2)-3ζ(4)/8 -ζ(6)/32 -5ζ(8)/1152 -9ζ(10)/12800 -175ζ(12)/1415168 -


ζ(5)の値   zeta(5)

 

(2003/10/10)

ζ(3)と同様にζ(5)の対数下での乗積表現を求める。その前提となるζ(5)の級数式が必要となる。[2]の杉岡氏のサイトにある式を利用して導いた式を示す。

実にシンプルな式ではないか。ζ(3)の式と比較すると規則性がありそうだ。



(2003/10/11)

上記式の導き方を次にまとめる。

 

利用した式は次の3個である。

 ζ(5)2/31 (π^4/3)(logπ - 25/12) + 4π^2ζ3

             - 16Σζ(2n)π^4/{2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)2^(2n)}]

              (n1

 ζ(5)2/93-(π^4/3)(logπ - 13/12) + 4π^2ζ3

             + 16Σζ(2n)π^4/{2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)2^(2n)}]

              (n1

 logπ1 + Σζ(2n/2n(2n + 1)2^(2n-1)

       (n1

以上「ゼータ関数のいくつかの点について   その7」より引用

 

先ずζ(5)2式からζ(3)を消去すると次の式になる。Σの範囲はしばらく n1 とする。

ζ(5)=π^4/31 19/18 - (2 lnπ)/3 + 16Σζ(2n)/2n (2n+1) (2n+3) (2n+4) 2^(2n) } ]

 

次にlnπを消去すると

ζ(5)=π^4/31 19/18 - 2/3 + 16Σζ(2n)/2n (2n+1) (2n+3) (2n+4) 2^(2n) }

                - 16Σζ(2n)/12 (2n) (2n+1) 2^(2n) } ]

  =π^4/31 7/18 + 16Σζ(2n)/{ 2n (2n+1) 2^(2n) } * { 1/( (2n+3) (2n+4) ) - 1/12 } ]

ζ(5)=π^4/31 7/18 - 4/3Σ(2n+7)ζ(2n)/{ (2n+1) (2n+3) (2n+4) 2^(2n) } ]

さらに

 (2n+7)/{ (2n+1) (2n+3) (2n+4) }

=1/(2n+1)-(2n+5)/{ (2n+3) (2n+4) }

=1/(2n)-1/{ 2n (2n+1) }-(2n+5)/{ (2n+3) (2n+4) }

Σζ(2n/2n (2n + 1) 2^(2n)=(ln π)/2-1/2

Σζ(2n/(2n) 2^(2n)=(ln π/2)/2

を使用すると

 

ζ(5)=π^4/31 7/18 - 4/3 { (ln π/2)/2 - (ln π)/2 + 1/2 - Σ(2n+5)ζ(2n)/{ (2n+3) (2n+4) 2^(2n) } } ]

ζ(5)=2π^4/93 ln 2 -5/12 + Σ(2n+5)ζ(2n)/{ (n+2) (2n+3) 2^(2n) } ]

ここで -5/12 n=0 で統一できるため、さらに簡潔な次の式になる。

 

 

なお[5]の論文ではζ(3)が上記のζ(5)と似た形で求められている。

そしてζ(5)は相当複雑な式になっている。今回はよりシンプルな式が得られたことになる。


(2003/10/12)

ζ(5)をζ(2)とζ(3)で表現すると、更にシンプルな式になることがわかった。その式は

 

正に 5=3+2 だ。ζ(2)を使用せずに表現すると次の式になる。

 **

このΣの値が既知の値であればζ(5)とζ(3)の組み合わせを既知の値で表すことができる。

S=ζ(0)/(2*20)+ζ(2)/(3*22)+ζ(4)/(4*24)+ζ(6)/(5*26)+= -0.091999036  であり、今の所では既知の値としては見つかっていない。比較的近い値は  -1/(π2+1)= -0.091999668  である。

 

上記式の導き方を簡単にまとめる。

(2n+5)/{(n+2) (2n+3)}=4/(2n+3) - 1/(n+2) と分解して 2n+3 に対応する部分の値を求める。

ζ(3)を表す次の式を変形していたら、関係があることがわかった。[7]7ページを参照。

cot x の級数は公式集にもある通り、1/x-2ζ(2)x/π2-2ζ(4)x3/π4-2ζ(6)x5/π6- であるので

  

この式は[8]にもあるのでそれを使用しても良い。これを用いると求める式が得られる。

 

(2003/10/19)

上記ζ(5)の式(**)[8]の論文の (4.8)式でn=2 としたケースに一致する。従ってその上の式もそれから導くことができる。


(2003/10/15)

ln 2 を消去してζ(3)も展開した式と、ζ(3)を使用した式を示す。

ζ(5)とそれに含まれるζ(3)の関係も更に明らかになったようだ。

 

(2003/10/18)

ベルヌーイ数でζ(5)を表現すると次の式になる。先頭や途中のπも統一的に表現できる。



(2003/10/21)

最初の係数が1になるような式を求める。

上記の式より       31ζ(5)= 6π2ζ(3)+ 4π4Σ…

[8](5. 4)式より  66ζ(5)= 6π2ζ(3)+ 2π4Σ…

[8](2.35)式より  93ζ(5)=12π2ζ(3)+24π4Σ…

この3式よりζ(3)を消去すれば求める式になる。

ベルヌーイ数で表現すると次の式になる。


(2003/10/13)

ζ(5)の乗積表現(対数の級数和)を求めるためには次の式を使用する。

ζ(5)=2π^4/93 ln 2 -5/12 + Σζ(2n)/2^(2n) * { 4/(2n+3) - 1/(n+2) } ]  (n=1〜∞)

ζ(2n)の展開に必要な式は

x2/5+x4/7+x6/9+ =  1/(2x3) ln{(1+x)/(1-x)}-1/x2-1/3

x2/3+x4/4+x6/5+ = - 1/x4 ln{(1+x) (1-x)}-1/x2-1/2

その結果は

ζ(5)の他式との組み合わせで、更に簡単な式になる可能性は残っている。

 

 

ゼータ関数やその値に関しては「級数と乗積」の以下のページでも調べている。

 二項係数の級数とゼータ関数

 自然数の累乗の階差とゼータ関数

 素数の積と円周率・ゼータ関数

 ゼータ関数等の級数・乗積・連分数


関連リンク

 

[2]   数学の研究  ゼータ関数のいくつかの点について  その1〜

 

[3]   ゼータの世界へようこそ   ζ(s)を多重三角関数で表す

 

[4]   A COMPUTER HUNT FOR APERY’S CONSTANT

 

[5]   NEW RAPIDLY CONVERGENT SERIES REPRESENTATIONS FOR ζ(2n+1)

 

[6]   SOME SERIES OF THE ZETA AND RELATED FUNCTIONS

 

[7]   RELATIONS AMONG SUMS OF RECIPROCAL POWERS II

 

[8]   SOME FAMILIES OF RAPIDLY CONVERGENT SERIES REPRESENTATIONS
      FOR THE ZETA FUNCTIONS            (2003/10/18 追加)

 

[9]   Introduction of an Elementary Method to Express ζ(2n+1)
      in Terms of ζ(2k) with k1      (2008/05/02 追加)

 

          目次