ベルヌーイ数の母関数

ベルヌーイ数の通常母関数を求める。

ベルヌーイ数は B₀=1,B₂=1/6,B₄=-1/30,B₆=1/42,…,B₁=-1/2,B₃=B₅=B₇=…=0 の値を持ち、

等に現れる有理数である。

次の指数型母関数による級数で定義される。詳細は「ベルヌーイ数の生成規則(1)」を参照。

x/(e^x-1)=B₀/0!+B₁x/1!+B₂x²/2!+B₃x³/3!+B₄x⁴/4!+…

分母の階乗を持たない通常母関数は、次の連分数であると思われる。

この式は漸近展開であるかも知れない。数値計算により見つけた式のため、詳細は不明。

左辺の連分数は分母も自然数である

あるいは項数が半分となる

の表現も可能である。

x=1 の場合、右辺はベルヌーイ数の和であるが、左辺の値は ζ(2)-1 である。

x=-1 の場合、+B₁ が -B₁ となり値は1増加する。左辺の値が ζ(2) になることに対応している。

式の値により確認する。x=10^-6 の時、先頭の値が一致する。

1/(1+1²x/(2-1²x/(3+2²x/(2-2²x/(5+3²x/(2-3²x/(7+4²x/(2-4²x/(9+5²x/(2-5²x/(11)…)
= 0.99999950000016666666666663333333333335714285714282380952380959956706583…

1 -(1/2)x+(1/6)x²-(1/30)x⁴+(1/42)x⁶-(1/30)x⁸+(5/66)x¹⁰-(691/2730)x¹²
= 0.99999950000016666666666663333333333335714285714282380952380959956709956…

オイラーの有名な級数 1/1²+1/2²+1/3²+…=π²/6 において、次の式が成り立つと思われる。

以下の例でもベルヌーイ数が現れている。

1/1²+1/2²+1/3²+ … +1/1000000² - π²/6
=-0.00000099999950000016666666666663333333333335714285714282380952380959956…

-2/(2000001+1/(6000003+16/(10000005+81/(14000007+256/(18000009)))))
=-0.00000099999950000016666666666663333333333335714285714282380952380962018…

その後の調査で上記に関係する連分数を Bender が論文

Continued Fraction as a Discrete Nonlinear Transform で示している事が判明した。(9h)の式は連分数と級数の両係数の対応であるが、それを等式で表現すると

であり、4以上のベルヌーイ数をB₂で割った形式になっている。分子の分数を無くし、全てのベルヌーイ数に拡張し、形を整えると

となる。x²がある項を2項に分解すると

となり、当初の連分数に似ているが一致はしない。次式は分子を1に統一している。

級数としてのベルヌーイ数の通常母関数を求める。

「級数と乗積　自然数の累乗の階差とゼータ関数」よりB_kは

B₁ = -1/2=-1/2

B₂ = -1/2+ 2/3= 1/6

B₃ = -1/2+ 6/3- 6/4= 0

B₄ = -1/2+14/3-36/4+24/5=-1/30

知られている第2種スターリング数{_m^k}の母関数から始める。

x¹/ (1-x) = {₁¹}x¹+{₁²}x²+{₁³}x³+{₁⁴}x⁴+{₁⁵}x⁵+…

x²/{(1-x)(1-2x)} = {₂²}x²+{₂³}x³+{₂⁴}x⁴+{₂⁵}x⁵+…

x³/{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = {₃³}x³+{₃⁴}x⁴+{₃⁵}x⁵+…

交代和を求めるためにxを-xにすると

x¹/ (1+x) = {₁¹}x¹-{₁²}x²+{₁³}x³-{₁⁴}x⁴+{₁⁵}x⁵-…

x²/{(1+x)(1+2x)} = {₂²}x²-{₂³}x³+{₂⁴}x⁴-{₂⁵}x⁵+…

x³/{(1+x)(1+2x)(1+3x)} = {₃³}x³-{₃⁴}x⁴+{₃⁵}x⁵-…

係数を合わせるためにm!/(m+1)倍すると

1!x¹/{2(1+x)} = x¹/2- x²/2+ x³/2- x⁴/2+ x⁵/2-…

2!x²/{3(1+x)(1+2x)} = 2x²/3- 6x³/3+14x⁴/3- 30x⁵/3+…

3!x³/{4(1+x)(1+2x)(1+3x)} = 6x³/4-36x⁴/4+150x⁵/4-…

右辺の和は -B₁x¹+B₂x²-B₃x³+B₄x⁴-B₅x⁵+… となる。

整理すると

xを1/xにすると更に簡潔な式になる。

B₀から始まる式は

x=1 の場合、右辺はベルヌーイ数の交代和であるが、左辺の値はζ(2)である。

ベルヌーイ数は自然数から生成される。

上記式の各項は、分子が二項係数である単純な分数に分解できる。

xを-xに置き換えた一般式は

この通常型を指数型と比較すると

Σ_j=0^m (-1)^j(_j^m)/e^-jx = Σ_j=0^m (_j^m)(-e^x)^j = (1-e^x)^m のため上記式は

Σ_m=0^∞ (1-e^x)^m/(m+1) = {Σ_m=0^∞(1-e^x)^m+1/(m+1)}/(1-e^x) = -ln{1-(1-e^x)}/(1-e^x)

つまり x/(e^x-1) と同じである。