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自然数の累乗の階差とゼータ関数

 

自然数の累乗の階差とゼータ関数、ベルヌーイ数等の関係を調べる。

パスカルの三角形と同様に、数列の階差には二項係数が現れる。ただし符号は正負交互である。

 

 Δ⁰a_j   a₁   ,    a₂   ,    a₃   ,    a₄   ,    a₅   ,  …         1

 Δ¹a_j      a₂-a₁  ,   a₃-a₂  ,   a₄-a₃  ,   a₅-a₄   ,  …        1   1

 Δ²a_j        a₃-2a₂+a₁ ,  a₄-2a₃+a₂ ,  a₅-2a₄+a₃ ,  …         1   2   1

 Δ³a_j          a₄-3a₃+3a₂-a₁ ,  a₅-3a₄+3a₃-a₂  ,  …         1   3   3   1

 Δ⁴a_j                a₅-4a₄+6a₃-4a₂+a₁      ,  …          1   4   6   4   1

  :                          :                                      :

 

 Δ¹a_j=a_j+1-a_j

 Δ²a_j=Δ¹a_j+1-Δ¹a_j=a_j+2-2a_j+1+a_j

 Δ^ma_j=Δ^m-1a_j+1-Δ^m-1a_j

 

この性質を利用して、ゼータ関数値を表す。

 

例えばa_jがj²とj³の場合は

  1²    2²    3²    4²    5²

  1  ,  4   , 9   , 16  , 25 ,  …

     3  ,  5  ,  7  ,  9  ,  …

        2  ,  2  ,  2  ,  …

           0  ,  0  ,  …

 

  1³    2³    3³    4³    5³

  1  ,  8   , 27  , 64 , 125 ,  …

     7  ,  19  , 37  , 61  ,  …

       12  , 18  , 24  ,  …

           6  ,  6  ,  …

              0  ,  …

 

ζ(-2)=(1/2¹-3/2²+ 2/2³)/(1-2³)=(0)/(-7)=0

ζ(-3)=(1/2¹-7/2²+12/2³-6/2⁴)/(1-2⁴)=(-1/8)/(-15)=1/120

この式は前ページでの式と同じである。

興味深い事に、ベルヌーイ数もこの係数で構成されている。A028246 を参照。

 B₂=(1/1-3/2+ 2/3)=1/6

-B₃=(1/1-7/2+12/3-6/4)=0

分母の数字を1,2,3,4,…と増加させれば良い理由は、最後近くで示している。

 

一般式は a_j=j^k として

j^0からj^5に対するゼータ関数値とベルヌーイ数の計算結果を示す。

1列目はB_kの計算で、2列目はζ(-k)の計算をしている。△の列は階差の次数である。

 

 

 

整数であるj^kの階差から有理数のk!,B_k,ζ(-k)が求まる。

分数である1/j^kの階差からも同様にζ(k)が求まる。

kが2と3に対する第15階差までの計算結果を示す。

 

 

 

Σの部分は1/j^kの単純な累計であり、通常のζ(k)の計算方法である。

上例では合計値0.901537を1-2^(1-3)=0.75で割ったものが 計算値1.202049である。

以上のようにζ(s)の一般式は次の表現ができる。

  

 

収束が遅いためこれまでは扱ってこなかったが、ゼータ関数には次の式もある。

mathworldの Riemann Zeta Function を参照。以下は記号をオリジナルのままとする。

一方これまで扱ってきた式の元になる式は

である。右端の指数を-sに揃えると次の式となる。

   以上は記号がオリジナルのままである。

 

この比較から

  

  

 

例えば

ζ(-2)=(1/1- 7/2+12/3- 6/4)/(-2-1)=(0)/(-3)=0

ζ(-3)=(1/1-15/2+50/3-60/4+24/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=1/120

ζ(-k)の計算ではa_j=j^k+1による係数を使用することになる。

0^kから始まる数列の階差による係数を考える。k=2,3,4 では

 

  0²    1²    2²    3²    4²    5²

  0  ,  1  ,  4   , 9   , 16  , 25 ,  …

     1  , 3  ,  5  ,  7  ,  9  ,  …

        2 ,  2  ,  2  ,  2  ,  …

          0  ,  0  ,  0  ,  …

 

  0³    1³    2³    3³    4³    5³

  0  ,  1  ,  8   , 27  , 64 , 125 ,  …

     1  , 7  ,  19  , 37  , 61  ,  …

        6  , 12  , 18  , 24  ,  …

          6  ,   6  ,  6  ,  …

             0  ,   0  ,  …

 

  0⁴    1⁴    2⁴    3⁴    4⁴    5⁴

  0  ,  1  ,  16  , 81 , 256 , 625 ,  …

     1  , 15 ,  65 , 175 , 369 ,  …

       14 ,  50 , 110 , 194 ,  …

          36 ,  60  , 84 ,   …

             24  , 24 ,   …

                 0 ,   …

 

階差の性質より次の関係等がある。

  0 +  1 =  1     0 + 1 =  1     0 + 1 =  1     0 + 1 =  1

  1 + 14 = 15     1 + 6 =  7     1 + 2 =  3     1 + 0 =  1

 14 + 36 = 50     6 + 6 = 12     2 + 0 =  2    

 36 + 24 = 60     6 + 0 =  6    

 24 +  0 = 24

 

 1-3+2=(0+1)-(1+2)+(2+0)=0

 1-7+12-6=(0+1)-(1+6)+(6+6)-(6+0)=0

 

  1 = 1      1-15+50-60+24 =  0     1 = 1     1-7+12-6 = 0     1 = 1    1-3+2 = 0

-14 = 1-15    -15+50-60+24 = -1    -6 = 1-7    -7+12-6 =-1    -2 = 1-3   -3+2 =-1

 36 = 1-15+50     50-60+24 = 14     6 = 1-7+12    12-6 = 6     0 = 1-3+2    2 = 2

-24 = 1-15+50-60    -60+24 =-36     0 = 1-7+12-6    -6 =-6

  0 = 1-15+50-60+24     24 = 24

 

参考: 1+3+2 = 6 = Σ_k=1^∞ k²/2^k

      1+7+12+6 = 26 = Σ_k=1^∞ k³/2^k

これらの係数は

 1=1( 1)=1(0+1)      1=1(1)=1(0+1)

14=2( 7)=2(1+6)      6=2(3)=2(1+2)

36=3(12)=3(6+6)      6=3(2)=3(2+0)

24=4( 6)=4(6+0)

等の関係になっている。例えば

14=     2⁴-2*1⁴+0⁴=2(     2³-1³)=2* 7

36=3⁴-3*2⁴+3*1⁴-0⁴=3(3³-2*2³+1³)=3*12  であり、

(_j^m)j^k=m!j^k/(j!(m-j)!)=(m-1)!mj^k-1/((j-1)!(m-j)!)=m(_j-1^m-1)j^k-1

となるため、一般的に成立する。

 

これらの係数は階乗と第2種スターリング数の積でもある。

 1=1!1      1=1!1         1=0!1      1=0!1

14=2!7      6=2!3         7=1!7      3=1!3

36=3!6      6=3!1        12=2!6      2=2!1

24=4!1                    6=3!1

1/2¹-7/2²+12/2³-6/2⁴=(2-1)(1/2²-6/2³+6/2⁴)

等の関係から、前記のζ(-k)とB_kは以下の係数でも成立する。

 

ζ(-2)=(1/2²-2/2³)/(1-2³)=(0)/(-7)=0

ζ(-3)=(1/2²-6/2³+6/2⁴)/(1-2⁴)=(-1/8)/(-15)=1/120

 

 B₃= 3(1/2²-2/2³)/(2³-1)=3(0)/(7)=0

 B₄= 4(1/2²-6/2³+6/2⁴)/(2⁴-1)=4(-1/8)/(15)=-1/30

 B₄=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5=-1/30  の式を変形すると

 B₄=(0+1)/1-(1+14)/2+(14+36)/3-(36+24)/4+(24+0)/5

   =1*1/1-(1*1+2*7)/2+(2*7+3*12)/3-(3*12+4*6)/4+4*6/5

   =(1-7+12-6)+(-1*1/2+2*7/3-3*12/4+4*6/5)

従って

 B₄=0/1-1/2+14/3-36/4+24/5=-1/30

同様に

 B₃=0/1-1/2+ 6/3- 6/4= 0

 B₂=0/1-1/2+ 2/3= 1/6

また

 B₁=0/1-1/2=-1/2

一般式は a_j=(j-1)^k として

 

ゼータ関数の式は

-ζ( 0)=(0/1-1/2)/( 0-1)=(-1/2)/(-1)=1/2

 ζ(-1)=(0/1-1/2+ 2/3)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12

-ζ(-2)=(0/1-1/2+ 6/3- 6/4)/(-2-1)=(0)/(-3)= 0

 ζ(-3)=(0/1-1/2+14/3-36/4+24/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=1/120

  :

-B₃=1/1-7/2+12/3-6/4= 0  の式を変形すると

-B₃=1*1/1²-2*7/2²+3*12/3²-4*6/4²

従って

-B₃=1/1²-14/2²+36/3²-24/4²= 0

同様に

 B₂=1/1²-6/2²+6/3²= 1/6

-B₁=1/1²-2/2²= 1/2

また

 B₀=1/1² = 1

 

ゼータ関数の式は

 ζ( 0)=(1/1²- 2/2²)/( 0-1)=(1/2)/(-1)=-1/2

 ζ(-1)=(1/1²- 6/2²+ 6/3²)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12

 ζ(-2)=(1/1²-14/2²+36/3²-24/4²)/(-2-1)=(0)/(-3)= 0

  :

更に

 B₄=(0+1)/1-(1+14)/2+(14+36)/3-(36+24)/4+(24+0)/5

を1,14,36,24でまとめると

 B₄=(1/1-1/2)1-(1/2-1/3)14+(1/3-1/4)36-(1/4-1/5)24

   =1/(1*2)-14/(2*3)+36/(3*4)-24/(4*5)

従って

 B₄=   1/2-  7/3+  12/4-  6/5 =-1/30

同様に

-B₃=   1/2-  3/3+   2/4 = 0

 B₂=   1/2-  1/3 = 1/6

-B₁=   1/2 = 1/2

 

ζ(-k)の計算でa_j=j^kによる係数を使用するには、分母を1増加させれば良い。

 ζ( 0)=(1/2)/( 0-1)=(1/2)/(-1)=-1/2

 ζ(-1)=(1/2-1/3)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12

 ζ(-2)=(1/2-3/3+ 2/4)/(-2-1)=(0)/(-3)=0

 ζ(-3)=(1/2-7/3+12/4-6/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=120

  :

      (sが0や負の整数以外でも成立するかは未確認)

同じ係数を使用して、後のベルヌーイ数を求めることができる。

 

 B₄=    1/2-    7/3+   12/4-    6/5   を変形すると

 B₄=(0+1)/2-(1+6)/3+(6+6)/4-(6+0)/5

   =(1/2-1/3)1-(1/3-1/4)6+(1/4-1/5)6

 B₄=1/(2*3)-6/(3*4)+6/(4*5)=-1/30

同様に

 B₃=1/(2*3)-2/(3*4)= 0

 B₂=1/(2*3)= 1/6

 

あるいは

 B₂=1*1/(2*3)= 1/6

 B₃=1*1/(2*3)-1*2/(3*4)= 0

 B₄=1*1/(2*3)-3*2/(3*4)+ 2*3/(4*5)=-1/30

 B₅=1*1/(2*3)-7*2/(3*4)+12*3/(4*5)-6*4/(5*6)= 0

次に1,6,6の係数を1,2に分解する。

 B₄=     1/(2*3)-     6/(3*4)+     6/(4*5)

   =1(0+1)/(2*3)-2(1+2)/(3*4)+3(2+0)/(4*5)

   =(1/(2*3)-2/(3*4))1-(2/(3*4)-3/(4*5))2

   =1*0/(2*3*4)-2*1/(3*4*5)

 

この方法で分子と分母に自然数が連続する式を得る。

 B₃=1*0*1/(2*3*4)= 0

 B₄=1*0*1/(2*3*4)-1*1*2/(3*4*5)=-1/30

 B₅=1*0*1/(2*3*4)-3*1*2/(3*4*5)+ 2*2*3/(4*5*6)= 0

 B₆=1*0*1/(2*3*4)-7*1*2/(3*4*5)+12*2*3/(4*5*6)-6*3*4/(5*6*7)= 1/42

分母の数字を3,4,5,…と変化させた場合の値を求める。

 

 -1/3+30/4-150/5+240/6-120/7= 1/42

 -1/3+14/4- 36/5+ 24/6=-1/30

 -1/3+ 6/4-  6/5=-1/30

 -1/3+ 2/4= 1/6

であり、偶数のベルヌーイ数の値を示す。その理由は1,6,6の係数の場合

 B₃ =-1/2  +  6/3  -  6/4 = 0

 B₄ = 1/(2*3)-6/(3*4)+6/(4*5) =-1/30

の両式を加えると

 B₃+B₄ = (1/3-1)(1/2)-(1/4-1)(6/3)+(1/5-1)(6/4)

       = -(2/3)(1/2)+(3/4)(6/3)-(4/5)(6/4)

       = -1/3+6/4-6/5

 

値は連続する奇数と偶数、あるいは偶数と奇数のベルヌーイ数の和となるが、奇数のベルヌーイ数は0となるため、偶数のベルヌーイ数と等しくなる(B₁が参加する場合を除く)。

これらの係数を使用したタンジェント数の式を求める。

 

T_k=|2^k+1(2^k+1-1)B_k+1/(k+1)|=|2^k+1(2^k+1-1)ζ(-k)|=|2^k+1(2^k+1-1)(1-2^k+1)^-1Σ_m=0^k(-1)^mΔ^ma1/2^m+1|

従って a_j=j^k として

 

例えば

T₁=|1*2¹-1*2⁰|=1

T₂=|1*2²-3*2¹+ 2*2⁰|=0

T₃=|1*2³-7*2²+12*2¹-6*2⁰|=2

 

1*2³-7*2²+12*2¹-6*2⁰=(2-1)(1*2²-6*2¹+6*2⁰) であるので、0から始めて

T₃=|0*2³-1*2²+6*2¹-6*2⁰|=2     同様に

T₂=|0*2²-1*2¹+2*2⁰|=0

T₁=|0*2¹-1*2⁰|=1

また

T₀=|0*2⁰|=0

0^kから始まる数列の階差による係数の生成規則を求める。

 

14と36の例では

14=(1+6)2=( (0+1)1+(1+2)2 )2=( (0+1*1)1+(1*1+1*2)2 )2

36=(6+6)3=( (1+2)2+(2+0)3 )3=( (1*1+1*2)2+(1*2+0)3 )3

と遡れる。そのため次のように規則的に生成できる。

 

       k=4                           k=3               k=2        k=1

m=1    1=1*1*1*1                     1=1*1*1           1=1*1      1=1

m=2   14=1*1*1*2+1*1*2*2+1*2*2*2     6=1*1*2+1*2*2     2=1*2

m=3   36=1*1*2*3+1*2*2*3+1*2*3*3     6=1*2*3

m=4   24=1*2*3*4

 

一般式は「1からmまで1以下の差で増加する、k個の自然数の積和」である。

         

 

あるいは「kをm個の自然数に分割した数を指数に持つ、1からmまでの自然数の積和」である。

       k=4                      k=3            k=2        k=1

m=1    1=1⁴                     1=1³           1=1²       1=1¹

m=2   14=1³2¹+1²2²+1¹2³         6=1²2¹+1¹2²    2=1¹2¹

m=3   36=1²2¹3¹+1¹2²3¹+1¹2¹3²   6=1¹2¹3¹

m=4   24=1¹2¹3¹4¹

 

ベルヌーイ数は

  あるいは 

第2種スターリング数{_m^k}の生成規則は、上記係数をm!で割ると

       k=4                k=3          k=2        k=1

m=1    1=1*1*1            1=1*1        1=1        1=1

m=2    7=1*1+1*2+2*2      3=1+2        1=1

m=3    6=1+2+3            1=1

m=4    1=1

 

{_m^k}の値は「m=kの場合は1、他は最大でmまで増加するk-m個の自然数の積和」である。

 

k=5では

m=1    1=1*1*1*1

m=2   15=1*1*1+1*1*2+1*2*2+2*2*2

m=3   25=1*1+1*2+2*2+1*3+2*3+3*3

m=4   10=1+2+3+4

m=5    1=1

0^kから始まる数列の階差による係数と、自然数の分割の関係を求める。

 

階差に現れる二項係数の対応関係を利用する。第2と第3階差の例では

Δ²a_j=a_j+2-2a_j+1+a_j         ←→   (e^x-1)²=e^2x-2e^x+1

Δ³a_j=a_j+3-3a_j+2+3a_j+1-a_j   ←→   (e^x-1)³=e^3x-3e^2x+3e^x-1

  :

e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+…  ,  e^kx=1+kx/1!+k²x²/2!+k³x³/3!+k⁴x⁴/4!+…  であるので

(e^x-1)²=(1+2x/1!+2²x²/2!+2³x³/3!+2⁴x⁴/4!+…)-2(1+x/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+…)+1

       =(1-2+1)+(2/1!-2/1!)x+(2²/2!-2/2!)x²+(2³/3!-2/3!)x³+(2⁴/4!-2/4!)x⁴+…

       =(2²-2)(x²/2!)+(2³-2)(x³/3!)+(2⁴-2)(x⁴/4!)+…

一方

(e^x-1)²=(e^x-1)(e^x-1)=(x/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+…)(x/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+…)

       =x²/(1!1!)+x³/(1!2!)+x³/(2!1!)+x⁴/(1!3!)+x⁴/(2!2!)+x⁴/(3!1!)+…

 

両式の係数比較より

(2²-2)/2!=1/(1!1!),(2³-2)/3!=1/(1!2!)+1/(2!1!),(2⁴-2)/4!=1/(1!3!)+1/(2!2!)+1/(3!1!)

階乗の数字は自然数の分割(2個)に対応している。  2=1+1 , 3=1+2=2+1 , 4=1+3=2+2=3+1

 

自然数の積和も合わせて示すと、第2階差の係数は

 

(e^x-1)³ の展開から同様に第3階差の係数を求めると、自然数の分割(3個)に対応して

 

上記式には面白い性質がある。4を2個に分割する例では

 4!/(1!3!)+4!/(2!2!)+4!/(3!1!)

=   1¹ 2³  +   1² 2²  +   1³ 2¹

と表現すると、分母の階乗の数字と指数の数字が同一となる。

0^kから始まる数列の第m階差による係数は

  

 

また第2種スターリング数は

 

ベルヌーイ数に関しては「ζ(k)と母関数　ベルヌーイ数の生成規則(2)」を参照。そこでの式

x/(e^x-1) = 1/1-(e^x-1)/2+(e^x-1)²/3-(e^x-1)³/4+(e^x-1)⁴/5-…

は、分母の数字を1,2,3,4,5,… と増加させればB_kが求まることを示している。

上記の階乗部分 k!/(n₁!n₂!…n_m!) は多項係数であるが、二項係数の積和に分解した式を示す。

両係数の関係は"宇宙人"Kono氏の資料 一般二項定理と一般多項定理 を参照。一般式は煩雑なため、パスカルの三角形を利用した図式で例を示す。

1以外の二項係数で構成されるパスカルの三角形で、底辺の数字から始めてm-1個の二項係数の積の和を求める。m=1の場合は値を1とする。制約として三角形の右端から斜めj列目の数字は、j行上の数字との積を可能とする。

k=4

  m=1    1=1

  m=2   14=4 +6 +4              Σ_n1=1^k-1(_n1^k) = (₁⁴)+(₂⁴)+(₃⁴)

  m=3   36=6*2+4*3+4*3          Σ_n1=2^k-1Σ_n2=1^n1-1(_n1^k)(_n2ⁿ¹) = (₂⁴)(₁²)+(₃⁴)(₁³)+(₃⁴)(₂³)

  m=4   24=4*3*2                Σ_n1=3^k-1Σ_n2=2^n1-1Σ_n3=1^n2-1(_n1^k)(_n2ⁿ¹)(_n3ⁿ²) = (₃⁴)(₂³)(₁²)

k=5

  m=1    1=1

  m=2   30=5 +10+10+5                  Σ_n1=1^k-1(_n1^k)

  m=3  150=10*2+10*3+10*3+5*4+5*6+5*4  Σ_n1=2^k-1Σ_n2=1^n1-1(_n1^k)(_n2ⁿ¹)

  m=4  240=10*3*2+5*6 *2+5*4*3+5*4*3   Σ_n1=3^k-1Σ_n2=2^n1-1Σ_n3=1^n2-1(_n1^k)(_n2ⁿ¹)(_n3ⁿ²)

  m=5  120=5*4*3*2                     Σ_n1=4^k-1Σ_n2=3^n1-1Σ_n3=2^n2-1Σ_n4=1^n3-1(_n1^k)(_n2ⁿ¹)(_n3ⁿ²)(_n4ⁿ³)

参考:多項係数を個別に調べると、分母の数字は右辺の二項係数の斜め列数に対応している。

     4!/(3!1!)=4          4!/(2!1!1!)=6*2          4!/(4!)=1

     4!/(2!2!)=6          4!/(1!2!1!)=4*3

     4!/(1!3!)=4          4!/(1!1!2!)=4*3          4!/(1!1!1!1!)=4*3*2

 

     多項係数の値が等しいため、二項係数の積が等しい値になる組み合わせ。

      6*2=4* 3 , 10*2= 5*4 , 10*3=5* 6 , 10*3*2=5* 6*2=5*4*3

 

    

     パスカルの三角形の二項係数を素因数分解すると、同一記号内の全素数の種類と個数は等しい。

     □(2)(2,5)と△(5)(2,2)

     □(2)(3)(2,5)と△(5)(2,2)(3)と○(2)(2,3)(5)

     ◇(3)(2,5)と○(2,3)(5) や □(2)(2,3)と△(3)(2,2) 等も同様である。

下記の二項係数の生成式と第m階差の生成式のΔ^-1の部分より、次の簡潔なべき和の式を得る。

  

二項係数の値は q<r の場合 (_r^q)=0 とする。

 

左辺のn個の和をk個の和で求める式になっている。kが1から3の例では

Σ_i=1ⁿ i¹ = 1(₂ⁿ⁺¹)

Σ_i=1ⁿ i² = 1(₂ⁿ⁺¹)+2(₃ⁿ⁺¹)

Σ_i=1ⁿ i³ = 1(₂ⁿ⁺¹)+6(₃ⁿ⁺¹)+6(₄ⁿ⁺¹)

 

具体的な式は

Σ_i=1ⁿ i¹ = 1(n+1)n/2! = n(n+1)/2

Σ_i=1ⁿ i² = 1(n+1)n/2!+2(n+1)n(n-1)/3! = (n+1)n{1/2+(n-1)/3} = n(n+1)(2n+1)/6

Σ_i=1ⁿ i³ = 1(n+1)n/2!+6(n+1)n(n-1)/3!+6(n+1)n(n-1)(n-2)/4!

         =  (n+1)n{1/2+(n-1)+(n-1)(n-2)/4} = n(n+1)(n(n+1)/4) = (n(n+1)/2)²

i^kは次のk個の和である。

  

 

例えば

i¹ = 1(₁ⁱ)             = 1i/1! = i

i² = 1(₁ⁱ)+2(₂ⁱ)       = 1i/1!+2i(i-1)/2! = i+i²-i = i²

i³ = 1(₁ⁱ)+6(₂ⁱ)+6(₃ⁱ) = 1i/1!+6i(i-1)/2!+6i(i-1)(i-2)/3! = i+3i²-3i+i³-3i²+2i = i³

 

べき和の式との関係は

Σ_i=1ⁿ i^k = Σ_i=1ⁿ Σ_m=1^k (Δ^ma₁)(_mⁱ) = Σ_m=1^k (Δ^ma₁) Σ_i=1ⁿ (_mⁱ) = Σ_m=1^k (Δ^ma₁) (_m+1ⁿ⁺¹)

 

その後の調査で、これらは 数学のいずみ のサイトにある以下の文書に出ている式であることが判明した。

・「自然数のべき和に関するメモ�T」スターリング数の部分

・「和の公式へのアプローチ」4 1^k+2^k+3^k+…+n^kの場合の部分

   (上記式より1項多いため、当ページでは未記載の式)

このページに出てきた各種の数を、小数の中に生成するプログラム。

 

二項係数の生成

f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f-1:?b:next

 0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
 0.0000000000000001000000020000000300000004000000050000000600000007…
 0.0000000000000000000000010000000300000006000000100000001500000021…
 0.0000000000000000000000000000000100000004000000100000002000000035…
 0.0000000000000000000000000000000000000001000000050000001500000035…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000010000000600000021…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000100000007…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001…

第2種スターリング数の生成

f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f-n:?b:next

 0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
 0.0000000000000001000000030000000700000015000000310000006300000127…
 0.0000000000000000000000010000000600000025000000900000030100000966…
 0.0000000000000000000000000000000100000010000000650000035000001701…
 0.0000000000000000000000000000000000000001000000150000014000001050…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000010000002100000266…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000100000028…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001…

0^kから始まる数列の階差による係数(0を除く)の生成

f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f/n-1:?b:next

 0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
 0.0000000000000002000000060000001400000030000000620000012600000254…
 0.0000000000000000000000060000003600000150000005400000180600005796…
 0.0000000000000000000000000000002400000240000015600000840000040824…
 0.0000000000000000000000000000000000000120000018000001680000126000…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000007200001512000191520…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000504000141120…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000040320…

1^kから始まる数列の階差による係数の生成

f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f/n-1:?b/n:next

 0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
 0.0000000000000001000000030000000700000015000000310000006300000127…
 0.0000000000000000000000020000001200000050000001800000060200001932…
 0.0000000000000000000000000000000600000060000003900000210000010206…
 0.0000000000000000000000000000000000000024000003600000336000025200…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000001200000252000031920…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000072000020160…
 0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005040…

f=10^8:for n=0 to 7:a=0:for k=1 to 100:a+=k^n/(f+1)^k:next:?using(2,70),a:next

 0.0000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
 0.0000000100000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000
 0.0000000100000003000000020000000000000000000000000000000000000000000000
 0.0000000100000007000000120000000600000000000000000000000000000000000000
 0.0000000100000015000000500000006000000024000000000000000000000000000000
 0.0000000100000031000001800000039000000360000001200000000000000000000000
 0.0000000100000063000006020000210000003360000025200000072000000000000000
 0.0000000100000127000019320001020600025200000319200002016000005040000000

f=10^8:for n=1 to 8:?round(!(n-1)/log(1+1/f)^n)/f^(n+1):next    (逆順)

 0.00000001
 0.0000000100000001
 0.000000020000000300000001
 0.00000006000000120000000700000001
 0.0000002400000060000000500000001500000001
 0.000001200000036000000390000001800000003100000001
 0.00000720000025200000336000002100000006020000006300000001
 0.0000504000020160000319200002520000010206000019320000012700000001

タンジェント数の生成

f=10^6:a=0:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a,1-a
 0      1                 0    16                 0  7936
 0.0000009999999999980000000000159999999997280000000079359999996462080000…
 0.9999990000000000019999999999840000000002719999999920640000003537919999… (補数)
              0     2                 0   272                 0353792
単純な除算と加算でタンジェント数が生成される。

 

fの値として複素数を使用すれば、全て'+'の数字で生成できる。

f=(10^6)*#i  :a= 0:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a
 0-0.000001000000000002000000000016000000000272000000007936000000353792000022#i

参考:オイラー数の生成

f=(10^6)*#i-1:a=-1:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a/f
 0+0.000001000000000001000000000005000000000061000000001385000000050521000002#i

     また円周率も同一形式で計算できる数値である。

f=1:a=2:b=2:for n=1 to 500:b/=2+f/n:a+=b:next:?a
 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816275

自然数の累乗の生成

f=10^8:n=f-1:?(1/n+1/n^2),(1/n+3/n^2+2/n^3),(1/n+7/n^2+12/n^3+6/n^4)

 0.0000000100000002000000030000000400000005000000060000000700000008…
 0.0000000100000004000000090000001600000025000000360000004900000064…
 0.0000000100000008000000270000006400000125000002160000034300000512…

f=10^8:n=f-1:?(0/n+1/n^2),(0/n+1/n^2+2/n^3),(0/n+1/n^2+ 6/n^3+6/n^4)

 0.0000000000000001000000020000000300000004000000050000000600000007…
 0.0000000000000001000000040000000900000016000000250000003600000049…
 0.0000000000000001000000080000002700000064000001250000021600000343…

自然数の累乗の第m階差の生成     0³,1³,2³,3³,…の例

f=10^8:n=f-1:a=(0/n+1/n^2+6/n^3+6/n^4):for m=-1 to 3:v=n^m*a:?v-int(v):next

 0.0000000000000000000000010000000900000036000001000000022500000441…  Δ^-1 : Σj³
 0.0000000000000001000000080000002700000064000001250000021600000343…  Δ⁰  :   j³
 0.0000000100000007000000190000003700000061000000910000012700000169…  Δ¹
 0.0000000600000012000000180000002400000030000000360000004200000048…  Δ²  : Σ3!
 0.0000000600000006000000060000000600000006000000060000000600000006…  Δ³  :   3!

   差分と和分の演算子Δ^mが、数値計算では乗算n^mに対応している。

 

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