自然数の累乗の階差とゼータ関数、ベルヌーイ数等の関係を調べる。
パスカルの三角形と同様に、数列の階差には二項係数が現れる。ただし符号は正負交互である。
Δ0aj a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … 1
Δ1aj a2-a1 , a3-a2 , a4-a3 , a5-a4 , … 1 1
Δ2aj a3-2a2+a1 , a4-2a3+a2 , a5-2a4+a3 , … 1 2 1
Δ3aj a4-3a3+3a2-a1 , a5-3a4+3a3-a2 , … 1 3 3 1
Δ4aj a5-4a4+6a3-4a2+a1 , … 1 4 6 4 1
: : :
Δ1aj=aj+1-aj
Δ2aj=Δ1aj+1-Δ1aj=aj+2-2aj+1+aj
Δmaj=Δm-1aj+1-Δm-1aj
この性質を利用して、ゼータ関数値を表す。
例えばajがj2とj3の場合は
12 22 32 42 52
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …
3 , 5 , 7 , 9 , …
2 , 2 , 2 , …
0 , 0 , …
13 23 33 43 53
1 , 8 , 27 , 64 , 125 , …
7 , 19 , 37 , 61 , …
12 , 18 , 24 , …
6 , 6 , …
0 , …
ζ(-2)=(1/21-3/22+ 2/23)/(1-23)=(0)/(-7)=0
ζ(-3)=(1/21-7/22+12/23-6/24)/(1-24)=(-1/8)/(-15)=1/120
この式は前ページでの式と同じである。
興味深い事に、ベルヌーイ数もこの係数で構成されている。A028246 を参照。
B2=(1/1-3/2+ 2/3)=1/6
-B3=(1/1-7/2+12/3-6/4)=0
分母の数字を1,2,3,4,…と増加させれば良い理由は、最後近くで示している。
一般式は aj=jk として
j^0からj^5に対するゼータ関数値とベルヌーイ数の計算結果を示す。
1列目はBkの計算で、2列目はζ(-k)の計算をしている。△の列は階差の次数である。
整数であるj^kの階差から有理数のk!,Bk,ζ(-k)が求まる。
分数である1/j^kの階差からも同様にζ(k)が求まる。
kが2と3に対する第15階差までの計算結果を示す。
Σの部分は1/j^kの単純な累計であり、通常のζ(k)の計算方法である。
上例では合計値0.901537を1-2^(1-3)=0.75で割ったものが 計算値1.202049である。
以上のようにζ(s)の一般式は次の表現ができる。
収束が遅いためこれまでは扱ってこなかったが、ゼータ関数には次の式もある。
mathworldの Riemann Zeta Function を参照。以下は記号をオリジナルのままとする。
一方これまで扱ってきた式の元になる式は
である。右端の指数を-sに揃えると次の式となる。
以上は記号がオリジナルのままである。
この比較から
例えば
ζ(-2)=(1/1- 7/2+12/3- 6/4)/(-2-1)=(0)/(-3)=0
ζ(-3)=(1/1-15/2+50/3-60/4+24/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=1/120
ζ(-k)の計算ではaj=jk+1による係数を使用することになる。
0kから始まる数列の階差による係数を考える。k=2,3,4 では
02 12 22 32 42 52
0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , …
2 , 2 , 2 , 2 , …
0 , 0 , 0 , …
03 13 23 33 43 53
0 , 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , …
1 , 7 , 19 , 37 , 61 , …
6 , 12 , 18 , 24 , …
6 , 6 , 6 , …
0 , 0 , …
04 14 24 34 44 54
0 , 1 , 16 , 81 , 256 , 625 , …
1 , 15 , 65 , 175 , 369 , …
14 , 50 , 110 , 194 , …
36 , 60 , 84 , …
24 , 24 , …
0 , …
階差の性質より次の関係等がある。
0 + 1 = 1 0 + 1 = 1 0 + 1 = 1 0 + 1 = 1
1 + 14 = 15 1 + 6 = 7 1 + 2 = 3 1 + 0 = 1
14 + 36 = 50 6 + 6 = 12 2 + 0 = 2
36 + 24 = 60 6 + 0 = 6
24 + 0 = 24
1-3+2=(0+1)-(1+2)+(2+0)=0
1-7+12-6=(0+1)-(1+6)+(6+6)-(6+0)=0
1 = 1 1-15+50-60+24 = 0 1 = 1 1-7+12-6 = 0 1 = 1 1-3+2 = 0
-14 = 1-15 -15+50-60+24 = -1 -6 = 1-7 -7+12-6 =-1 -2 = 1-3 -3+2 =-1
36 = 1-15+50 50-60+24 = 14 6 = 1-7+12 12-6 = 6 0 = 1-3+2 2 = 2
-24 = 1-15+50-60 -60+24 =-36 0 = 1-7+12-6 -6 =-6
0 = 1-15+50-60+24 24 = 24
参考: 1+3+2 = 6 = Σk=1∞ k2/2k
1+7+12+6 = 26 = Σk=1∞ k3/2k
これらの係数は
1=1( 1)=1(0+1) 1=1(1)=1(0+1)
14=2( 7)=2(1+6) 6=2(3)=2(1+2)
36=3(12)=3(6+6) 6=3(2)=3(2+0)
24=4( 6)=4(6+0)
等の関係になっている。例えば
14= 24-2*14+04=2( 23-13)=2* 7
36=34-3*24+3*14-04=3(33-2*23+13)=3*12 であり、
(jm)jk=m!jk/(j!(m-j)!)=(m-1)!mjk-1/((j-1)!(m-j)!)=m(j-1m-1)jk-1
となるため、一般的に成立する。
これらの係数は階乗と第2種スターリング数の積でもある。
1=1!1 1=1!1 1=0!1 1=0!1
14=2!7 6=2!3 7=1!7 3=1!3
36=3!6 6=3!1 12=2!6 2=2!1
24=4!1 6=3!1
1/21-7/22+12/23-6/24=(2-1)(1/22-6/23+6/24)
等の関係から、前記のζ(-k)とBkは以下の係数でも成立する。
ζ(-2)=(1/22-2/23)/(1-23)=(0)/(-7)=0
ζ(-3)=(1/22-6/23+6/24)/(1-24)=(-1/8)/(-15)=1/120
B3= 3(1/22-2/23)/(23-1)=3(0)/(7)=0
B4= 4(1/22-6/23+6/24)/(24-1)=4(-1/8)/(15)=-1/30
B4=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5=-1/30 の式を変形すると
B4=(0+1)/1-(1+14)/2+(14+36)/3-(36+24)/4+(24+0)/5
=1*1/1-(1*1+2*7)/2+(2*7+3*12)/3-(3*12+4*6)/4+4*6/5
=(1-7+12-6)+(-1*1/2+2*7/3-3*12/4+4*6/5)
従って
B4=0/1-1/2+14/3-36/4+24/5=-1/30
同様に
B3=0/1-1/2+ 6/3- 6/4= 0
B2=0/1-1/2+ 2/3= 1/6
また
B1=0/1-1/2=-1/2
一般式は aj=(j-1)k として
ゼータ関数の式は
-ζ( 0)=(0/1-1/2)/( 0-1)=(-1/2)/(-1)=1/2
ζ(-1)=(0/1-1/2+ 2/3)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12
-ζ(-2)=(0/1-1/2+ 6/3- 6/4)/(-2-1)=(0)/(-3)= 0
ζ(-3)=(0/1-1/2+14/3-36/4+24/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=1/120
:
-B3=1/1-7/2+12/3-6/4= 0 の式を変形すると
-B3=1*1/12-2*7/22+3*12/32-4*6/42
従って
-B3=1/12-14/22+36/32-24/42= 0
同様に
B2=1/12-6/22+6/32= 1/6
-B1=1/12-2/22= 1/2
また
B0=1/12 = 1
ゼータ関数の式は
ζ( 0)=(1/12- 2/22)/( 0-1)=(1/2)/(-1)=-1/2
ζ(-1)=(1/12- 6/22+ 6/32)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12
ζ(-2)=(1/12-14/22+36/32-24/42)/(-2-1)=(0)/(-3)= 0
:
更に
B4=(0+1)/1-(1+14)/2+(14+36)/3-(36+24)/4+(24+0)/5
を1,14,36,24でまとめると
B4=(1/1-1/2)1-(1/2-1/3)14+(1/3-1/4)36-(1/4-1/5)24
=1/(1*2)-14/(2*3)+36/(3*4)-24/(4*5)
従って
B4= 1/2- 7/3+ 12/4- 6/5 =-1/30
同様に
-B3= 1/2- 3/3+ 2/4 = 0
B2= 1/2- 1/3 = 1/6
-B1= 1/2 = 1/2
ζ(-k)の計算でaj=jkによる係数を使用するには、分母を1増加させれば良い。
ζ( 0)=(1/2)/( 0-1)=(1/2)/(-1)=-1/2
ζ(-1)=(1/2-1/3)/(-1-1)=(1/6)/(-2)=-1/12
ζ(-2)=(1/2-3/3+ 2/4)/(-2-1)=(0)/(-3)=0
ζ(-3)=(1/2-7/3+12/4-6/5)/(-3-1)=(-1/30)/(-4)=120
:
(sが0や負の整数以外でも成立するかは未確認)
同じ係数を使用して、後のベルヌーイ数を求めることができる。
B4= 1/2- 7/3+ 12/4- 6/5 を変形すると
B4=(0+1)/2-(1+6)/3+(6+6)/4-(6+0)/5
=(1/2-1/3)1-(1/3-1/4)6+(1/4-1/5)6
B4=1/(2*3)-6/(3*4)+6/(4*5)=-1/30
同様に
B3=1/(2*3)-2/(3*4)= 0
B2=1/(2*3)= 1/6
あるいは
B2=1*1/(2*3)= 1/6
B3=1*1/(2*3)-1*2/(3*4)= 0
B4=1*1/(2*3)-3*2/(3*4)+ 2*3/(4*5)=-1/30
B5=1*1/(2*3)-7*2/(3*4)+12*3/(4*5)-6*4/(5*6)= 0
次に1,6,6の係数を1,2に分解する。
B4= 1/(2*3)- 6/(3*4)+ 6/(4*5)
=1(0+1)/(2*3)-2(1+2)/(3*4)+3(2+0)/(4*5)
=(1/(2*3)-2/(3*4))1-(2/(3*4)-3/(4*5))2
=1*0/(2*3*4)-2*1/(3*4*5)
この方法で分子と分母に自然数が連続する式を得る。
B3=1*0*1/(2*3*4)= 0
B4=1*0*1/(2*3*4)-1*1*2/(3*4*5)=-1/30
B5=1*0*1/(2*3*4)-3*1*2/(3*4*5)+ 2*2*3/(4*5*6)= 0
B6=1*0*1/(2*3*4)-7*1*2/(3*4*5)+12*2*3/(4*5*6)-6*3*4/(5*6*7)= 1/42
分母の数字を3,4,5,…と変化させた場合の値を求める。
-1/3+30/4-150/5+240/6-120/7= 1/42
-1/3+14/4- 36/5+ 24/6=-1/30
-1/3+ 6/4- 6/5=-1/30
-1/3+ 2/4= 1/6
であり、偶数のベルヌーイ数の値を示す。その理由は1,6,6の係数の場合
B3 =-1/2 + 6/3 - 6/4 = 0
B4 = 1/(2*3)-6/(3*4)+6/(4*5) =-1/30
の両式を加えると
B3+B4 = (1/3-1)(1/2)-(1/4-1)(6/3)+(1/5-1)(6/4)
= -(2/3)(1/2)+(3/4)(6/3)-(4/5)(6/4)
= -1/3+6/4-6/5
値は連続する奇数と偶数、あるいは偶数と奇数のベルヌーイ数の和となるが、奇数のベルヌーイ数は0となるため、偶数のベルヌーイ数と等しくなる(B1が参加する場合を除く)。
これらの係数を使用したタンジェント数の式を求める。
Tk=|2k+1(2k+1-1)Bk+1/(k+1)|=|2k+1(2k+1-1)ζ(-k)|=|2k+1(2k+1-1)(1-2k+1)-1Σm=0k(-1)mΔma1/2m+1|
従って aj=jk として
例えば
T1=|1*21-1*20|=1
T2=|1*22-3*21+ 2*20|=0
T3=|1*23-7*22+12*21-6*20|=2
1*23-7*22+12*21-6*20=(2-1)(1*22-6*21+6*20) であるので、0から始めて
T3=|0*23-1*22+6*21-6*20|=2 同様に
T2=|0*22-1*21+2*20|=0
T1=|0*21-1*20|=1
また
T0=|0*20|=0
0kから始まる数列の階差による係数の生成規則を求める。
14と36の例では
14=(1+6)2=( (0+1)1+(1+2)2 )2=( (0+1*1)1+(1*1+1*2)2 )2
36=(6+6)3=( (1+2)2+(2+0)3 )3=( (1*1+1*2)2+(1*2+0)3 )3
と遡れる。そのため次のように規則的に生成できる。
k=4 k=3 k=2 k=1
m=1 1=1*1*1*1 1=1*1*1 1=1*1 1=1
m=2 14=1*1*1*2+1*1*2*2+1*2*2*2 6=1*1*2+1*2*2 2=1*2
m=3 36=1*1*2*3+1*2*2*3+1*2*3*3 6=1*2*3
m=4 24=1*2*3*4
一般式は「1からmまで1以下の差で増加する、k個の自然数の積和」である。
あるいは「kをm個の自然数に分割した数を指数に持つ、1からmまでの自然数の積和」である。
k=4 k=3 k=2 k=1
m=1 1=14 1=13 1=12 1=11
m=2 14=1321+1222+1123 6=1221+1122 2=1121
m=3 36=122131+112231+112132 6=112131
m=4 24=11213141
ベルヌーイ数は
あるいは
第2種スターリング数{mk}の生成規則は、上記係数をm!で割ると
k=4 k=3 k=2 k=1
m=1 1=1*1*1 1=1*1 1=1 1=1
m=2 7=1*1+1*2+2*2 3=1+2 1=1
m=3 6=1+2+3 1=1
m=4 1=1
{mk}の値は「m=kの場合は1、他は最大でmまで増加するk-m個の自然数の積和」である。
k=5では
m=1 1=1*1*1*1
m=2 15=1*1*1+1*1*2+1*2*2+2*2*2
m=3 25=1*1+1*2+2*2+1*3+2*3+3*3
m=4 10=1+2+3+4
m=5 1=1
0kから始まる数列の階差による係数と、自然数の分割の関係を求める。
階差に現れる二項係数の対応関係を利用する。第2と第3階差の例では
Δ2aj=aj+2-2aj+1+aj ←→ (ex-1)2=e2x-2ex+1
Δ3aj=aj+3-3aj+2+3aj+1-aj ←→ (ex-1)3=e3x-3e2x+3ex-1
:
ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+… , ekx=1+kx/1!+k2x2/2!+k3x3/3!+k4x4/4!+… であるので
(ex-1)2=(1+2x/1!+22x2/2!+23x3/3!+24x4/4!+…)-2(1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+…)+1
=(1-2+1)+(2/1!-2/1!)x+(22/2!-2/2!)x2+(23/3!-2/3!)x3+(24/4!-2/4!)x4+…
=(22-2)(x2/2!)+(23-2)(x3/3!)+(24-2)(x4/4!)+…
一方
(ex-1)2=(ex-1)(ex-1)=(x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+…)(x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+…)
=x2/(1!1!)+x3/(1!2!)+x3/(2!1!)+x4/(1!3!)+x4/(2!2!)+x4/(3!1!)+…
両式の係数比較より
(22-2)/2!=1/(1!1!),(23-2)/3!=1/(1!2!)+1/(2!1!),(24-2)/4!=1/(1!3!)+1/(2!2!)+1/(3!1!)
階乗の数字は自然数の分割(2個)に対応している。 2=1+1 , 3=1+2=2+1 , 4=1+3=2+2=3+1
自然数の積和も合わせて示すと、第2階差の係数は
(ex-1)3 の展開から同様に第3階差の係数を求めると、自然数の分割(3個)に対応して
上記式には面白い性質がある。4を2個に分割する例では
4!/(1!3!)+4!/(2!2!)+4!/(3!1!)
= 11 23 + 12 22 + 13 21
と表現すると、分母の階乗の数字と指数の数字が同一となる。
0kから始まる数列の第m階差による係数は
また第2種スターリング数は
ベルヌーイ数に関しては「ζ(k)と母関数 ベルヌーイ数の生成規則(2)」を参照。そこでの式
x/(ex-1) = 1/1-(ex-1)/2+(ex-1)2/3-(ex-1)3/4+(ex-1)4/5-…
は、分母の数字を1,2,3,4,5,… と増加させればBkが求まることを示している。
上記の階乗部分 k!/(n1!n2!…nm!) は多項係数であるが、二項係数の積和に分解した式を示す。
両係数の関係は"宇宙人"Kono氏の資料 一般二項定理と一般多項定理 を参照。一般式は煩雑なため、パスカルの三角形を利用した図式で例を示す。
1以外の二項係数で構成されるパスカルの三角形で、底辺の数字から始めてm-1個の二項係数の積の和を求める。m=1の場合は値を1とする。制約として三角形の右端から斜めj列目の数字は、j行上の数字との積を可能とする。
k=4
m=1 1=1
m=2 14=4 +6 +4 Σn1=1k-1(n1k) = (14)+(24)+(34)
m=3 36=6*2+4*3+4*3 Σn1=2k-1Σn2=1n1-1(n1k)(n2n1) = (24)(12)+(34)(13)+(34)(23)
m=4 24=4*3*2 Σn1=3k-1Σn2=2n1-1Σn3=1n2-1(n1k)(n2n1)(n3n2) = (34)(23)(12)
k=5
m=1 1=1
m=2 30=5 +10+10+5 Σn1=1k-1(n1k)
m=3 150=10*2+10*3+10*3+5*4+5*6+5*4 Σn1=2k-1Σn2=1n1-1(n1k)(n2n1)
m=4 240=10*3*2+5*6 *2+5*4*3+5*4*3 Σn1=3k-1Σn2=2n1-1Σn3=1n2-1(n1k)(n2n1)(n3n2)
m=5 120=5*4*3*2 Σn1=4k-1Σn2=3n1-1Σn3=2n2-1Σn4=1n3-1(n1k)(n2n1)(n3n2)(n4n3)
参考:多項係数を個別に調べると、分母の数字は右辺の二項係数の斜め列数に対応している。
4!/(3!1!)=4 4!/(2!1!1!)=6*2 4!/(4!)=1
4!/(2!2!)=6 4!/(1!2!1!)=4*3
4!/(1!3!)=4 4!/(1!1!2!)=4*3 4!/(1!1!1!1!)=4*3*2
多項係数の値が等しいため、二項係数の積が等しい値になる組み合わせ。
6*2=4* 3 , 10*2= 5*4 , 10*3=5* 6 , 10*3*2=5* 6*2=5*4*3
パスカルの三角形の二項係数を素因数分解すると、同一記号内の全素数の種類と個数は等しい。
□(2)(2,5)と△(5)(2,2)
□(2)(3)(2,5)と△(5)(2,2)(3)と○(2)(2,3)(5)
◇(3)(2,5)と○(2,3)(5) や □(2)(2,3)と△(3)(2,2) 等も同様である。
下記の二項係数の生成式と第m階差の生成式のΔ-1の部分より、次の簡潔なべき和の式を得る。
二項係数の値は q<r の場合 (rq)=0 とする。
左辺のn個の和をk個の和で求める式になっている。kが1から3の例では
Σi=1n i1 = 1(2n+1)
Σi=1n i2 = 1(2n+1)+2(3n+1)
Σi=1n i3 = 1(2n+1)+6(3n+1)+6(4n+1)
具体的な式は
Σi=1n i1 = 1(n+1)n/2! = n(n+1)/2
Σi=1n i2 = 1(n+1)n/2!+2(n+1)n(n-1)/3! = (n+1)n{1/2+(n-1)/3} = n(n+1)(2n+1)/6
Σi=1n i3 = 1(n+1)n/2!+6(n+1)n(n-1)/3!+6(n+1)n(n-1)(n-2)/4!
= (n+1)n{1/2+(n-1)+(n-1)(n-2)/4} = n(n+1)(n(n+1)/4) = (n(n+1)/2)2
ikは次のk個の和である。
例えば
i1 = 1(1i) = 1i/1! = i
i2 = 1(1i)+2(2i) = 1i/1!+2i(i-1)/2! = i+i2-i = i2
i3 = 1(1i)+6(2i)+6(3i) = 1i/1!+6i(i-1)/2!+6i(i-1)(i-2)/3! = i+3i2-3i+i3-3i2+2i = i3
べき和の式との関係は
Σi=1n ik = Σi=1n Σm=1k (Δma1)(mi) = Σm=1k (Δma1) Σi=1n (mi) = Σm=1k (Δma1) (m+1n+1)
その後の調査で、これらは 数学のいずみ のサイトにある以下の文書に出ている式であることが判明した。
・「自然数のべき和に関するメモT」スターリング数の部分
・「和の公式へのアプローチ」4 1k+2k+3k+…+nkの場合の部分
(上記式より1項多いため、当ページでは未記載の式)
このページに出てきた各種の数を、小数の中に生成するプログラム。
二項係数の生成
f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f-1:?b:next
0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
0.0000000000000001000000020000000300000004000000050000000600000007…
0.0000000000000000000000010000000300000006000000100000001500000021…
0.0000000000000000000000000000000100000004000000100000002000000035…
0.0000000000000000000000000000000000000001000000050000001500000035…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000010000000600000021…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000100000007…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001…
第2種スターリング数の生成
f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f-n:?b:next
0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
0.0000000000000001000000030000000700000015000000310000006300000127…
0.0000000000000000000000010000000600000025000000900000030100000966…
0.0000000000000000000000000000000100000010000000650000035000001701…
0.0000000000000000000000000000000000000001000000150000014000001050…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000010000002100000266…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000100000028…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001…
0kから始まる数列の階差による係数(0を除く)の生成
f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f/n-1:?b:next
0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
0.0000000000000002000000060000001400000030000000620000012600000254…
0.0000000000000000000000060000003600000150000005400000180600005796…
0.0000000000000000000000000000002400000240000015600000840000040824…
0.0000000000000000000000000000000000000120000018000001680000126000…
0.0000000000000000000000000000000000000000000007200001512000191520…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000504000141120…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000040320…
1kから始まる数列の階差による係数の生成
f=10^8:b=1:for n=1 to 8:b/=f/n-1:?b/n:next
0.0000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001…
0.0000000000000001000000030000000700000015000000310000006300000127…
0.0000000000000000000000020000001200000050000001800000060200001932…
0.0000000000000000000000000000000600000060000003900000210000010206…
0.0000000000000000000000000000000000000024000003600000336000025200…
0.0000000000000000000000000000000000000000000001200000252000031920…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000072000020160…
0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005040…
f=10^8:for n=0 to 7:a=0:for k=1 to 100:a+=k^n/(f+1)^k:next:?using(2,70),a:next
0.0000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000100000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000100000003000000020000000000000000000000000000000000000000000000
0.0000000100000007000000120000000600000000000000000000000000000000000000
0.0000000100000015000000500000006000000024000000000000000000000000000000
0.0000000100000031000001800000039000000360000001200000000000000000000000
0.0000000100000063000006020000210000003360000025200000072000000000000000
0.0000000100000127000019320001020600025200000319200002016000005040000000
f=10^8:for n=1 to 8:?round(!(n-1)/log(1+1/f)^n)/f^(n+1):next (逆順)
0.00000001
0.0000000100000001
0.000000020000000300000001
0.00000006000000120000000700000001
0.0000002400000060000000500000001500000001
0.000001200000036000000390000001800000003100000001
0.00000720000025200000336000002100000006020000006300000001
0.0000504000020160000319200002520000010206000019320000012700000001
タンジェント数の生成
f=10^6:a=0:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a,1-a
0
1
0
16
0 7936
0.0000009999999999980000000000159999999997280000000079359999996462080000…
0.9999990000000000019999999999840000000002719999999920640000003537919999… (補数)
0
2
0 272
0353792
単純な除算と加算でタンジェント数が生成される。
fの値として複素数を使用すれば、全て'+'の数字で生成できる。
f=(10^6)*#i
:a= 0:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a
0-0.000001000000000002000000000016000000000272000000007936000000353792000022#i
参考:オイラー数の生成
f=(10^6)*#i-1:a=-1:b=1:for n=1 to 16:b/=2+f/n:a+=b:next:?a/f
0+0.000001000000000001000000000005000000000061000000001385000000050521000002#i
また円周率も同一形式で計算できる数値である。
f=1:a=2:b=2:for
n=1 to 500:b/=2+f/n:a+=b:next:?a
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816275
自然数の累乗の生成
f=10^8:n=f-1:?(1/n+1/n^2),(1/n+3/n^2+2/n^3),(1/n+7/n^2+12/n^3+6/n^4)
0.0000000100000002000000030000000400000005000000060000000700000008…
0.0000000100000004000000090000001600000025000000360000004900000064…
0.0000000100000008000000270000006400000125000002160000034300000512…
f=10^8:n=f-1:?(0/n+1/n^2),(0/n+1/n^2+2/n^3),(0/n+1/n^2+ 6/n^3+6/n^4)
0.0000000000000001000000020000000300000004000000050000000600000007…
0.0000000000000001000000040000000900000016000000250000003600000049…
0.0000000000000001000000080000002700000064000001250000021600000343…
自然数の累乗の第m階差の生成 03,13,23,33,…の例
f=10^8:n=f-1:a=(0/n+1/n^2+6/n^3+6/n^4):for m=-1 to 3:v=n^m*a:?v-int(v):next
0.0000000000000000000000010000000900000036000001000000022500000441… Δ-1 : Σj3
0.0000000000000001000000080000002700000064000001250000021600000343… Δ0 : j3
0.0000000100000007000000190000003700000061000000910000012700000169… Δ1
0.0000000600000012000000180000002400000030000000360000004200000048… Δ2 : Σ3!
0.0000000600000006000000060000000600000006000000060000000600000006… Δ3 : 3!
差分と和分の演算子Δmが、数値計算では乗算nmに対応している。