目次

興味深い数と式

 

数や数式には面白い性質を持つものがある。ここでは偶然見つけたり、あるいは意識的に作成した興味深い数と式を書く。殆どは結果だけを示している。

連分数に似て、連乗数とでも呼べる式。

連分数風に書くと

       

  

 

レムニスケート周率 ω=2.622057…に関する上記式は、数値計算上での予想。

1と√2 の算術幾何平均は M=π/ω=1.198140… となる。その√2 は

上記3式を級数化した式。1,1,2,5,14,42,132,… はカタラン数。

 

乗積で表すと

     正確には

従って1と√2 の算術幾何平均は 

 

これらを変形すると、自然数で構成される単純な式になる。

      

 

連分数での表示は

 

ω/2 や M/2 は自然数の単純な並びで構成されるため、基本的な数値だと思われる。1に較べると少し特殊な√2 との平均でMが出現するが、「1とi の算術幾何平均」が M/2+i(M/2) となる事の結果とも考えられる。マイナスの付いた値間の平均を数値計算で求めると、次の様な値になる。

2つの数	算術幾何平均値
+1 , +i	M/ 2+i( M/ 2) = M/(1-i)
+1 , -i	M/ 2-i( M/ 2) = M/(1+i)
-1 , +i	3M/10+i( M/10) = M/(3-i)
-1 , -i	3M/10-i( M/10) = M/(3+i)

π = ωM であるので

  ←→ 

円周率は自然数の平面的な二重螺旋構造になっている。

 

ウォリスの公式

に似た形でeを表現すると

つまり奇数の積は  (2n-1)!!=1*3*5*…*(2n-1)≒(√2)(2n/e)^n

 

ウォリスの公式に似た数字の並びである級数。

 

    

ゼータ関数の最初の非自明零点は T₁=14.1347… である。ζ(1/2+i14.1347…)=0
似たような数字があるものだ。141の部分はそれぞれ10倍になっている。

 T₁=14.1347…
 √2=1.4142…
  π=3.14159…

零点は2πや10と関係が深いことは「ゼータ関数の零点の分布」で説明の通りである。また連分数を使用すると面白い式が作れる。

3_1_4_1の部分は等号の左右で数字が対称になっている。

(π-T₁/100)^2=9.001472…     π+π+e=9.001467…

 

πとeが関係する数や式には興味が湧く。正確な値での関係は良く知られているので、最初は正確でない値に関係する式を書く。

 

(x+1)^(x+1)=x^(x+2) の根は x=3.141041…
     ちなみに   8ln 2 - 2ζ(3)=3.141063…

f(x)=(x+1)^(x+1)-x^(x+2) はeの付近で最大となり、πの付近で0となる面白い関数だ。

 

(π+1)^(π+1)=359.7956…
   π ^(π+2)=359.8670…

円周率に関係の深い360(度)に少し足りないようだ。

 

(π+1)^(π+1)+ π^(π+2)=719.66…
(ππe)^2=719.76…   ππeππe≒1*2*3*4*5*6

 

素数と√を使用した近似式。

π≒2√(3 √(5) / e )   =3.1418…
π≒√(5/2) (√√√(3))⁵=3.1417…
e ≒ 2³/√(5 √(3))     =2.7184…
π≒5(√√√(3)/√(2))⁷e=3.14152…

結果が100に近い値になる式。

2(π+3) (π+5)=100.0046…     数字は素数

3(π+2)^(π-1)=100.0006…     数字は自然数

5(e +3)^(e -1)=100.0381…     数字は奇数

円周率を約3とする話があったが、πとπとeの平均であれば3と見なしても良い。

(π+π+e)/3  =3.000489…       (9-e)/2=3.1408…       
(ππe)^(1/3)=2.993629…        9/2-1/1!-2/3!-3/5!=3.14166…
1/π+1/π+1/e=1.004499…
(π+π+e)/3-{(π+π+e)/9}^2+9/(π+π+e)=2.9999999999956…

両者は9と10とも関係が深い。

(9/10³)(e⁷/π²)=1.00000952…  (9/10³)⁹ e⁴⁷ =100.00535…   (9/10³)²   e⁶ π⁵  =10.0000293…
(10⁴/9)(e /π⁷)=1.00000659…  (10⁴/9)⁸/π⁴⁷=10.000366…   (9/10³)²(π⁹ +π¹⁰)=10.0000288…
        e⁸/π⁹ =0.10000161…      9(e/π)⁴⁷=0.010000901…    9²²e⁵⁰(π/10)⁷³ =1000000.0218…

πとeの相互近似。

√(9e⁷/10³)=3.14160…           ⁹√( e⁸ 10)=3.141598…           e (⁴⁷√900)=3.141598…
  9π⁷/10⁴ =2.71826…           ⁸√(π⁹/10)=2.718276…          π/(⁴⁷√900)=2.718276…

偶然か必然か。

 

eと10-eはたすきがけになる数字が多い。隣り合う数字の和が9(又は10)になる事が多いからである。

  2.718281828459045…     2.7 18 28 18 28 45 90 45 235 36 028 …
  7.281718171540954…     　9　9 10　9 10　9　9　9　10　9　10

結果の数字構成が面白い式。[ ]内は数字を昇順にしている。

11*11*11+1 = 666+666     6^5+1=  7777         9^(1/√3)  = 3.555757786…
  2^25+1   = 33554433    φ^25= 167761.0000… 4^(1/φ)+1 = 3.355556566660…
                        2φ^25= 335522.0000…    123456e = 335588.2014142…
12345679*9 = 111111111                           1^2/3^4 = 0.012345679…
12345679*12= 148148148                           2^2/3^3 = 0.148148148…
12345679*8 = 98765432                            2^3/3^4 = 0.098765432…
                         3^84(e^94)(π^151+π^150)/10^149 = 12345679.01…
 17^6      = 24137569    [12345679]        1/(e^(3π)-1) = 0.000080706030508031…  交互に0
 17^6+17^1 = 24137586    [12345678]          1/(1+π/ 4) = 0.560099153511557375910… 奇数
 17^6+17^3 = 24142482    [12224448]          1/(1+ 7/π) = 0.30977310575353978…   奇数と0
 17^6*176  = 4248212144  [1122244448]        9/(1+π/ 7) = 6.21204204821814189…   2^n と0
        (√7)^(1/√7) = 1.44446997…            π^(1/7) = 1.177664030…
          1/(ln π)^3 = 0.6666393360…   1/(1-113π/355) = 11776666.61…
          1/(ln π)^6 = 0.4444080043…
        (3+π)^(3-π) = 0.773366223…           (π/3)^e = 1.133557169995524444332…
e^(π+e)=350.680124606604260486246020604863…  π^(π+e) = 818.9093933703359177596…

べき乗の式。

3^5-3*5!/2 = 2^6-1^6

4^7-4*7!/2 = 3^8-2^8-1^8

 

自然数の和と平方数。

1+2+3 = 1²-2²+3² = 1*2*3

1+2+3+4+5 = 1²-2²+3²-4²+5² = 1*3*5

 

1,2,3と自然対数と円周率。

1+2^ln 3 = 3^ln 2 +1 = 3.14148…      (ln 2)^(√3) = 0.53003141528…

(1/1+1/2)^(1/3) ≒ ln π    つまり   e^{(1/1+1/2)^(1/3)} = 3.141543…

 

自然数の平方根。√2 は1,2,3,4の数字で、√5 は2,2,3,6(富士山麓)の数字で構成している。

√2 ≒ 1+1/(1*2)-1/(3*4)-1/(12*34) = 1.4142156…

√5 ≒ 2+1/(2*2)-1/(2*2*3*6)-1/(2*2*3*6*322) =  2.23606797791…

 

分子が奇数で分母が偶数の乗積。右の式で (k/2^j) の2^jは、k以下で最大の数とする。

    

似た数字が並ぶπとeに関する式。

(π-e)³  = 0.07585393…        e²/π⁴ = 0.07585591…       (π+1)/e⁴ = 0.07585591…

(π/e)¹⁴ = 7.58534731…       π⁵/e⁶  = 0.75854695…       π/(π+1) = 0.75854699…

 

出現する数字が面白い式。     π⁵ e⁶  =  123457.1…          π³/e⁴  = 0.567899…

(e/π)⁸ = 0.314164…         (1/e)⁹  = 0.000123409…       (π/e)¹² = 5.678906…

(e/π)⁹ = 0.271832…         (1/e)^π = 0.0432139…

  ⁴√π  = 1.3313353…       (π/3)^e  = 1.1335571…

 

フィボナッチ数2,3,5,8を使用した式。φは黄金比。

8/(5(ln 3)^5)+(5(ln 3)^5)/8 = 2.000000055…

(ln 8)^{(ln(3-φ)+ln(2+φ))/((ln 3)+ln(ln 2))} = 5

 

フィボナッチ数 F₁₂=144,F₂₄=46368 とリュカ数 L₁₂=322 を構成する各桁の数字。

           

    

  

 

左右対称な式。

12*12=144 | 441=21*21      13*13=169 | 961=31*31      14*12=168 | 861=21*41
12*13=156 | 651=31*21      13*21=273 | 372=12*31      14*21=294 | 492=12*41

奇数の階乗の積と三角数の階乗の奇妙な関係。

1!      = 1!=(1)!
1!3!    = 3!=(1+2)!
1!3!5!  = 6!=(1+2+3)!
1!3!5!7!=10!=(1+2+3+4)!

整数に近い数値。

 

(³√2)/20+10/(³√2)=8.00000131…

2 ⁶/(√3*5*e²)=1.00013903…
2¹⁶/(√3*7*9*11*e⁴)=1.00001874…
2⁴⁰/(√3*7*13*15*17*19*21*23*e⁸)=1.00000239…

1*2*3*e^1/6 - 3*4*5*e^1/18 + 1*3*5*7*e^1/9 =61.00000000947…
-123*e^1/39 +   231*e^2/39 +      13*e^3/39=131.00000000019…

(10(π-e))^3 (e/π)^14=10.000061…
(10/π)^(3-1/4 )(π+1)=100.0012…
(10/π)^(3-1/4²)      =30.000068…

(1+(12π)/61)²+(61/(12π)-1)²=3.0000000032…
    9889/9999+(9999-9889)e   =300.000000030…      ←オイラー生誕300年の年に作成

2/e^(π(1/2)²)+2/e^(π(2/2)²)+2/e^(π(3/2)²)=1.0000069687…
1/e^(π(1/3)²)+1/e^(π(2/3)²)+…+1/e^(π(8/3)²)=1.00000000000105040…

次の4式は自作ではないが有名なものである。

   e^π-π=19.99909997918…
   e^6/(π^5+π^4)=1.00000004380…
   e^(π√163)=262537412640768743.9999999999992500…
   163/ln 163=31.999998738…

より整数に近いものは

e^π-π+e/π^7=19.99999998512…
e^6/(π^5+π^4)+(π^4+π^5)/e^6=2.000000000000001919…

自然対数による整数に近い数値。

4/(25(ln 2)^5)+(25(ln 2)^5)/4=2.0000000002842…

 

163に関する式。

163/(2^5 ln 163)+(2^5 ln 163)/163=2.000000000000001554…

大きな数である e^(π√163) に対して  (π√163)^e=22806.99923…  も整数に近いのは興味深い。

 

円周率の近似式は  2^9/163=3.1411…  ,  16/ln 163=3.1411…

オイラーの定数の近似式は  γ≒(ln 2)/2+(ln 10)/10+(ln 163²)/163²=0.57721553…
2^5≒163/ln 163 に出てくる数字を使用すると ln (2^5*2*5)/(2*5)+(ln 163²)/163²  となる。

同様の数字を使用して  3 ln(2^5*2*5*2001)/√163=3.14159265358979301…  である。

 

連続する自然数に関する式。

 

連続する自然数による分数と平方根や立方根等。

√2  :   2/3+3/4=1.4166…            (2/3+3/4)/2+2/(4/3+3/2) =1.4142156862…
√6  :   6/5+5/4=2.4500…            (6/5+5/4)/2+2/(4/5+5/6) =2.4494897959…
√3  :   6/7+7/8=1.7321…            (6/7+7/8)/2+2/(8/7+7/6) =1.7320508100…
√5  :  10/9+9/8=2.2361…           (10/9+9/8)/2+2/(8/9+9/10)=2.2360679779…

  2  :                  (2/1)/1=2
√2  :              (4/3+3/2)/2=1.4166…
³√2  :          (6/5+5/4+4/3)/3=1.2611…
⁴√2  :      (8/7+7/6+6/5+5/4)/4=1.18988…
⁵√2  : (10/9+9/8+8/7+7/6+6/5)/5=1.14912…

  2  :         ((2/1)/1+1/(1/2))/2        =2
√2  :     ((4/3+3/2)/2+2/(2/3+3/4))/2    =1.4142156…
³√2  : ((6/5+5/4+4/3)/3+3/(3/4+4/5+5/6))/2=1.2599261…

³√4  :  (6/5+5/4+4/3)  /  (3/4+4/5+5/6)   =1.587412…
³√5  :  ( 5/ 4)(8/7+7/6+6/5)/(5/6+6/7+7/8)            =1.7099767…
³√3  :  ( 4/ 3)(27/26+26/25+25/24)/(24/25+25/26+26/27)=1.442249570353…

√2  :  ( 5/ 7)( 98/ 99+ 99/100)                =1.4142135642…
√7  :  ( 4/ 3)(126/127+127/128)                =2.6457513123…
³√4  :  ( 8/15)(125/126+126/127+127/128)        =1.5874010540…
⁴√5  :  ( 3/ 8)(320/321+321/322+322/323+323/324)=1.4953487813…

√2  :  ( 3/ 2)(33*34-1)/(34*35-1)=1.41421362…
√3  :  ( 9/ 5)(51*52-1)/(52*53-1)=1.73205081…
√5  :  ( 7/ 3)(46*47-1)/(47*48-1)=2.23606799…

自然対数による整数に近い数値。

(1*2)/(ln 2)+(ln 2)/(2*3)=3.000914…     (3*4)/(ln 2)^2+(ln 2)^2/(4*5)=25.000450…
(1*2)/(ln 3)+(ln 3)/(2*3)=2.003580…     (3*4)/(ln 3)^2+(ln 3)^2/(4*5)=10.002772…
 90/ln 90=20.0008459…

 1/(ln(6/5))^2=30.08319…      1/(ln(  2))^3=3.00278…          3/(ln 2)^4=12.99629…
 1/(ln(6/5))^3=165.00075…     1/(ln(2/3))^4=36.99866…       3*4/(ln 2)^5=74.99873…
 1/(ln(6/5))^4=904.99862…     2/(ln(3/4))^5=-1014.99990…  3*4*5/(ln 2)^6=541.00151…

 8/(ln(7/6))^5=91909.99979…   1/(ln(8/7))^3=420.00055…     1/(ln(5/4))^3=90.00092…
 7/(ln(8/9))^10=13622932563.0013…        1/(ln(25/24))^3=14700.0001700…
10/(ln(9/8))^7 =31799537.0000067…        1/(ln(25/24))^5=8821224.9999932…

自然対数のべき乗は、連続する自然数との組み合わせにより、広い範囲で整数に近い値となる。その理由は「級数と乗積　自然対数と階乗・整数」を参照。

2の自然対数の近似式。

ln 2≒(2/5)^(2/5)=0.693144…

 

素数を使用した e^π の近似式と整数に近い数値。

e^π≒23+13/(11*7)*5/(3*2)=10691/462=23.140692640…

2^(7/3)/5+5/2^(7/3)-1/(2^7*5^3)=1.9999999973…

 

初めは'+'で、途中から'+'と'-'が交互である調和級数。

π : (1/1+1/2+1/3+…+1/ 12+1/ 13 -1/ 14+1/ 15-…+1/ 321-1/ 322)/1 = 3.141596796…
e  : (1/1+1/2+1/3+…+1/128+1/129 -1/130+1/131-…+1/1053-1/1054)/2 = 2.718281963…
φ : (1/1+1/2+1/3+…+1/ 71+1/ 72 -1/ 73+1/ 74-…-1/2659+1/2660)/3 = 1.618033954…

eとφの数字が7桁表れるπの式。

π⁷ 3³(π+2)^π-1  = 2718281.38…

 7! 5(π⁴+π³ )/2 = 1618033.63…

 

途中まで10進数の数値そのもので構成した式。

π=3+1*4/15-9*2/(6*5)+(3+5){1/(5*7)+1/(9*11)+1/(13*15)+…}

e =2+7/18+28/(18*28)+4*5/90+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+…

近似式の作り方の例。

(2143/22)^(1/4)=3.14159265258… はラマヌジャンの式として有名であるが、この式を例に作成方法を示す。

ζ(4)=π⁴/90=1.0823232337… の値には規則的な部分がある。

π⁴=97.409091034… も同様である。0909 の部分とそれより前の部分を分数化すると

  9/990= 0.009090909…

97+4/10=97.4

従って  97+4/10+9/990=2143/22=97.409090909…   つまり π≒(2143/22)^(1/4)

初等的な計算のみを使用しているので、簡単に短時間で作成できる。

 

π と e , 2と奇数 の関係式。

π と e に i が加わると豊かな式になる。e^(πi)=-1 のように実数になる数字を探すと

         

 

 

i^(1/2)+i^(-1/2)=√2

i^(1/3)+i^(-1/3)=√3

i^(1/4)+i^(-1/4)=√(2+√2)

i^(1/5)+i^(-1/5)=(√(10+√20))/2

i^(1/6)+i^(-1/6)=(√2+√6)/2

 

iは含まないが似た形式で、無理数が消えて整数になる式がある。

(√3-√2)^2+(√3-√2)^(-2)=10

 

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