自然対数と階乗・整数
級数 Σk=1∞ kn/ak の性質を調べることにより、自然対数と階乗、整数の意外な関係がわかる。また自然対数と平方数や立方根等との関係も興味深い。
nを1,2,3,…と変化させた場合、aが2の場合は整数になる。
aが3,5,6,9,11,17,21,26,33,41,51,65,81,…の場合は有限小数になる。
n Σ(kn/2k)
Σ(kn/3k) Σ(kn/11k)
1
2.0000000000
0.7500000000 0.110000000000000
2
6.0000000000
1.5000000000 0.132000000000000
3
26.0000000000
4.1250000000 0.182600000000000
4 150.0000000000
15.0000000000 0.306240000000000
5
1082.0000000000
68.2500000000 0.632720000000000
6
9366.0000000000
372.7500000000 1.578192000000000
7 94586.0000000000
2375.0625000000 4.608586400000000
8 1091670.0000000000
17295.0000000000 15.382878720000000
9 14174522.0000000000
141683.2500000000 57.741250688000000
10 204495126.0000000000 1289656.5000000000
240.790057728000000
末尾にある0000 の部分はそれより後を四捨五入した表示であり、実際の有限回数の計算結果はxx.xx9999…となる。
a-1は2と5のみを素因数として持つため、級数の値は m1/(a-1)m2 の形式であるはずだ。例えば
Σ(k5/3k)=273/22=68.25 Σ(k7/3k)=380001/24=2375.0625 Σ(k4/11k)=30624/105=0.30624
aが4,8 の場合の値で確認すると
Σ(k7/4k)=269348/36=369.47599451303155… Σ(k5/8k)=174728/76=1.48516349480233…
a=(j+1)/j の場合は結果が整数になる。更にその整数は j(j+1) の倍数であるようだ。
n Σ(kn/(3/2)k)
Σ(kn/(4/3)k)
Σ(kn/(11/10)k)
1
6.00000
12.00000
110.00000
2
30.00000 84.00000
2310.00000
3
222.00000
876.00000
72710.00000
4
2190.00000
12180.00000
3051510.00000
5
27006.00000
211692.00000
160083110.00000
6
399630.00000
4415124.00000 10077608310.00000
7
6899262.00000
107430636.00000 740144004710.00000
8 136125390.00000
2987482260.00000 62125074675510.00000
9 3021538686.00000 93461994732.00000
5866379365011110.00000
10 74520313230.00000 3248794543764.00000
615503965794104310.00000
参考: a=10/7 , n=1 の場合 Σk=1∞ k*0.7k = 7.7777777777…
a=eの場合はnの階乗に近い値となる。これは n!=Γ(n+1)=∫0∞ tn/et dt の級数版と考えることができる。
n
n!
Σ(kn/ek)
1
1 0.92067359420779231895
2
2 1.99229476712498739293
3
6 6.00651279663676014827
4
24 24.00333297476905227213
5
120 119.99782676761602472146
6
720 719.99693557164643648897
7
5040 5040.00115211776836768481
8
40320 40320.00467458331407746798
9 362880
362880.00004505588016251921
10 3628800
3628799.98964180936893585244
一般に n!≒(ln a)n+1Σk=1∞ (kn/ak) である。
n n! (ln
2)n+1Σ(kn/2k) (ln 1.1)n+1Σ(kn/1.1k)
1
1
0.96090602783640284933
0.99924334117660078585
2
2
1.99814791193357687831
1.99999931283213919310
3
6
6.00171256316016974907
6.00000068617725756658
4
24
24.00040466357119816214
24.00000000296992042708
5
120
119.99966317660009418905
119.99999999703952158542
6
720 719.99980823647529887610
719.99999999997170514732
7
5040
5040.00013520340149811328
5040.00000000002813904126
8
40320
40320.00015457088385187592 40320.00000000000046664613
9 362880
362879.99991690476294211934 362879.99999999999953729050
10 3628800
3628799.99981292896683658382 3628799.99999999999998821834
aの値が小さいと精度が良いが、実際の数値計算では同一回数の場合、aが小さ過ぎると逆に精度が悪くなる。
少ない項数で近い値になる式は n!≒2(ln a)n+1Σm=1∞ (m2n+1/am^2) である。
n!=Γ(n+1)=2∫0∞ t2n+1/et^2 dt の級数版の変形と考えることができる。
n n! 2(ln 1.1)n+1Σm=135(m2n+1/1.1m^2)
(35項の和)
1
1 1.00015863705813462487
2
2 1.99999237549733168191
3
6 6.00000082491531058581
4
24 23.99999984205323383011
5 120 120.00000004738055772242
6
720 719.99999997934526168101
7
5040 5040.00000001242758509815
8
40320 40319.99999999006024556448
9 362880
362880.00000001027043319265
10 3628800
3628799.99999998659248186889
a=1.1 であるこの式でガンマ関数の値 Γ(3/2)=(1/2)!=(√π)/2 を35項の和で計算すると
0.88622692545275801364908374167057259139877433… と小数点以下42桁まで一致する。
a=2 として3項の和を求めると 2(ln 2)3/2(1/21+4/24+9/29)=0.8859… となる。
a=3/2 の場合の7項の和は
2{ln(3/2)}3/2{1/(3/2)1+4/(3/2)4+9/(3/2)9+…+49/(3/2)49}=0.8862269230…
{22(ln a)a(1/a1+4/a4+9/a9+16/a16+25/a25+36/a36+49/a49)}2=3.141592636…
また円周率は (2(1/2)!)2 であるので次の式で近似できる。
π≒{ln(1+1/k)}3{4Σm=1∞m2/(1+1/k)^m2}2
k=10では {ln(1.1)}3{4Σm2/1.1^m2}2=3.141592653589793238462643383279502884197166…
a=e^(1/b2) の場合は n!≒(2/b)Σm=1∞(m/b)2n+1/e^(m/b)2 である。
例えばb=4とした時の階乗の式は n!≒(1/2)Σm=1∞(m/4)2n+1/e^(m/4)2 となる。
n n! (1/2)Σm=135(m/4)2n+1/e^(m/4)2
(35項の和)
1
1 1.00006710788747950900
2
2 1.99999792754781089631
3 6 6.00000014297631023195
4
24 23.99999998268693490750
5
120 120.00000000325567006417
6
720 719.99999999911866078407
7
5040 5040.00000000032600252396
8
40320 40319.99999999984142217722
9
362880 362880.00000000009850711512
10 3628800
3628799.99999999992364570727
n=1/2 の式より π≒{Σm=1∞(m/4)2/e^(m/4)2}2 で、右辺の値は
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459229… である。
n!=(√π/22n+1) (2n+1)!/(n+1/2)! の関係を利用すると精度の良い式が作れる。
n!≒(√π){Σm=1∞(m/8)4n+3/e^(m/8)2}/{Σm=1∞(m/2)2n+2/e^(m/4)2}
n n! (√π){Σ(m/8)4n+3/e^(m/8)2}/{Σ(m/2)2n+2/e^(m/4)2} (200項の和)
1
1
1.00000000008518828531110404620866515
2
2
2.00000000000001089016727704958584704
3
6
6.00000000000000000418201525451179639
4
24 24.00000000000000000000359471444660729
5
120 120.00000000000000000000000585318394647
6
720 720.00000000000000000000000001619967988
7
5040 5040.00000000000000000000000000007062076
8
40320 40320.00000000000000000000000000000045829
9 362880
362880.00000000000000000000000000000000424
10 3628800
3628800.00000000000000000000000000000000005
奇数の積は (2n-1)!!=1*3*5*…*(2n-1)=2nΓ(n+1/2)/√π を利用すると
(2n-1)!!≒(2n+1/b){Σm=1∞(m/b)2n/e^(m/b)2}/√π
2n-1
(2n-1/√π)Σm=150(m/4)2n/e^(m/4)2
(50項の和)
1
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999998
3 3.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000513
5
14.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999842207
7
105.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000047615506
9
944.999999999999999999999999999999999999999999999999999999985730510432
11
10395.000000000000000000000000000000000000000000000000000004186752312183
13
135134.999999999999999999999999999999999999999999999999998779092248576684
15
2027025.000000000000000000000000000000000000000000000000347757422550180251
17
34459424.999999999999999999999999999999999999999999999901397992740014907106
19
654729075.000000000000000000000000000000000000000000027212125029221692602675
少ない項数でも精度が非常に良い式である。
更に一般的な階乗の近似式は n!≒(c/b)Σm=1∞(m/b)cn+c-1/e^(m/b)c である。例えば
n
(8/100)Σm=1200(m/100)8n+7/e^(m/100)8 (200項の和)
1 1.000000000000000000000000000000035460784313696630111707435955311731
2 2.000000000000000000000000000000000000000000028860084370806463290213
3 6.000000000000000000000000000000000000000000000000000000377907894139
4 24.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000039
5 120.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
6 720.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
7 5040.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
8 40320.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
9 362880.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
10 3628800.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
前記の関係より n!≒(ln((j+1)/j))n+1Σk=1∞ (kn/((j+1)/j)k) である。
Σ部分は j(j+1)の倍数のため n!/{j(j+1)(ln((j+1)/j))n+1} は整数に近い値となる。
nに1を加えて (n+1)!/{j(j+1)(ln(j/(j+1)))n+2} としてj=n の場合を考えれば
(n-1)!/{ln(n/(n+1))}n+2 は整数に近い値となる。
以上が「自然対数のべき乗は、連続する自然数との組み合わせにより、広い範囲で整数に近い値となる」ことの理由である。この傾向の実例は次の通り。他の例は「雑記帳 興味深い数と式」を参照。
n n!/(ln 2)n+1 n!/{3*2(ln(3/2))n+1}
n!/{4*3(ln(4/3))n+1}
1
2.0813689810
1.0137754614
1.0069158021
2
6.0055614143
5.0005558612
7.0001984727
3 25.9925810106 36.9986647025
72.9993191410
4
149.9974708953
364.9997394364
1014.9999062346
5
1082.0030370328
4501.0006056921
17641.0003164984
6
9366.0024945245
66605.0002678615 367927.0000974131
7
94585.9974626292
1149876.9994054701 8952552.9996784056
8 1091669.9958149703
22687564.9995258631 248956854.9998252446
9 14174522.0032457982
503589781.0009888459 7788499561.0005605304
10 204495126.0105420840
12420052205.0012776633 270732878647.0004787101
n
(n-1)!/{ln(n/(n+1))}n+2
1
-3.0027807072
2
36.9986647025
3
-1014.9999062346
4
48601.0001932649
5 -3583811.0000250685
1*2*3*4/(ln(5/6))^7=-3583811.0000250…
6
376372332.9999029249
7 -53343571694.9999820846
8 9808511445361.0001031961
9 -2270198126932219.0000245128
10 645790373135121060.9998116744
1/ln 2=1.442695… から開始して(n/ln 2)を次々に乗じても、それぞれが整数に近い値になるのはやはり不思議な気がする。
ベンフォードの法則(Benford's law)によると、多くの10進数値で最初の桁が数字kである確率は log(1+1/k) となる。以下では隣り合う自然数の自然対数の差 ln(k+1)-ln(k)=ln((k+1)/k)=ln(1+1/k) を考える。
自然対数の差の-3乗を調べると次の値になる。
k 1/{ln(1+1/k)}3
1 3.0027807072
整数部分の一般式は k(k+1)(2k+1)/2 である
2 15.0016675835
従って ln(k+1) ≒ ln k + { k(k+1)(2k+1)/2 }^(1/3)
3 42.0011908361
4 90.0009261001
ln 3 ≒ ln 2
+ 1/15^(1/3)
5 165.0007576725
ln 4 ≒ ln 3
+ 1/42^(1/3)
6 273.0006410847
ln 5 ≒ ln 4
+ 1/90^(1/3)
7 420.0005555942
8 612.0004902227
ln 9 ≒ ln 8
+ 1/612^(1/3)
9 855.0004386156
10 1155.0003968396 小数部分は 1/(240k+120) が近い値である
ln k , ln(k+1) , ln (k2) に関する式を、例えばk=3で次のように変形して合計すると
ln 3 ≒ ln 2
+ 1/15^(1/3)
ln 3 ≒ ln 4 - 1/42^(1/3) →
1/15^(1/3)≒1/42^(1/3)+1/612^(1/3)
ln 8 ≒ ln 9 - 1/612^(1/3)
対数部分は消去されて立方根だけの式になる。一般式は
{ 2/( (k-1)k(2k-1) ) }1/3 ≒ { 2/( k(k+1)(2k+1) ) }1/3 + { 2/( (k2-1)k2(2k2-1) ) }1/3
共通の因数である 2/k を除けば次の式になる。
{ 1/( (k-1) (2k-1) ) }1/3 ≒ { 1/( (k+1) (2k+1) ) }1/3 + { 1/( (k2-1) k (2k2-1) ) }1/3
従って次の近似式が成立する。
(n=2,3,4,5,…)
例えば数字の組として (3,15,42) , (10,28,408) , (21,45,1860) , (36,66,5880) 等になるが、共通の因数を除くと次のような式になる。
k(k+1)(2k+1)/2 は 3(12+22+…+k2) に等しいので、1からの平方数の和でも表現できる。
(n=2,3,4,5,…)
自然対数の値は次の級数の値に近い。(n=2,3,4,5,…)
ln 2= 0.69314… , ln 3= 1.09861… の近似値は
ln 2≒(1/3)1/3 = 0.69336…
ln 3≒(1/3)1/3+(1/15)1/3 = 1.09884…
n→∞におけるオイラーの定数
1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+………+1/n-ln n= 0.57721566490153286060651… に対し
(1/3)1/3{1/(12)1/3+1/(12+22)1/3+…+1/(12+…+(n-1)2)1/3}-ln n=0.0002331455742489370916…
となるようだ。
自然対数の近似値は、分母が自然数の単純な和や積の級数としても表現できる。(n=2,3,4,5,…)
円周率の近似式 π≒{ln(1+1/k)}3{4Σm=1∞m2/(1+1/k)^m2}2 を利用して、自然対数の3乗の値を更に精度良く求めることができる。
1/{ln(1+1/k)}3≒{4Σm=1∞m2/(1+1/k)^m2}2/π
k
1/{ln(1+1/k)}3 {4Σ m2/(1+1/k)^m2}2/π
1
3.0027807072 3.0025645794
2
15.0016675835 15.0016675067
3
42.0011908361 42.0011908361
4
90.0009261001 90.0009261001
5
165.0007576725 165.0007576725
6
273.0006410847 273.0006410847
7
420.0005555942 420.0005555942
8
612.0004902227 612.0004902227
9
855.0004386156 855.0004386156
10
1155.0003968396 1155.0003968396
自然対数の差の-5乗を調べると次の値になる。
k 4/{ln(1+1/k)}5
1 24.9995784826
25= 32+ 42 = 52
2 364.9997394364
365=102+112+122 =132+142
3 2029.9998124691 2030=212+222+232+242
=252+262+272
4 7229.9998536985
k(2k+1)から始めて後方向にk+1個の平方数の和
5 19854.9998801163
あるいは
6 45954.9998984715
k(2k+3)から始めて前方向に k 個の平方数の和
7 94219.9999119607
8 176459.9999222900
k(2k+1) から 2k(k+1) まで
9 308084.9999304524
あるいは
10 508584.9999370643
2k(k+1)+1 から k(2k+3) まで
3乗の場合と同様な理由で次のような式が成立する。
自然対数の値は次の級数の値に近い。(n=2,3,4,5,…)
分母の先頭の数字は 5=12+22 , 13=22+32 , 25=32+42 , … となっている。
ln 2= 0.6931471805… の近似値は
ln 2≒(4/25)1/5 = (2/5)2/5 = 0.6931448431…
ln 2= ln 4 - ln 2≒(4/365)1/5 +(4/2030)1/5 = 0.6931471173…
n→∞におけるオイラーの定数
1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+………+1/n-ln n= 0.57721566490153286060651… に対し
(4/(52))1/5+(4/(132+142))1/5+…+(4/(…+((n-1)(2n+1))2))1/5-ln n=-0.000002401847008237763…
となるようだ。
Γ(5/2)=(3/2)!=(3√π)/4 の関係から π≒{ln(1+1/k)}5{(8/3)Σm=1∞m4/(1+1/k)^m2}2
従って更に精度の良い式は 1/{ln(1+1/k)}5≒{(8/3)Σm=1∞m4/(1+1/k)^m2}2/π
自然対数の1,2,4乗の逆数も整数に近い値になる。
k
2/ln(1+1/k) 12/{ln(1+1/k)}2
3/{ln(1+1/k)}4
1
2.8853900818
24.9764277721 12.9962905053
2
4.9326069248
72.9918332224 110.9959941075
3
6.9521189936
144.9958755020 437.9959148459
4
8.9628402354
240.9975152586 1209.9958825166
5
10.9696298955
360.9983401324 2714.9958662149
6
12.9743183893
504.9988129978 5312.9958568582
7
14.9777513788
672.9991090988 9435.9958509949
8
16.9803740314
864.9993067395 15587.9958470794
9
18.9824431621
1080.9994452025 24344.9958443354
10
20.9841173745 1320.9995459622
36354.9958423381
偶数乗に関しては、ある定数を加減するとより整数に近い値となる。
k
1/{ln(1+1/k)}2-1/12 3/{ln(1+1/k)}4+1/240
60/{ln(1+1/k)}6-1/504
1 1.9980356477 13.0004571719
540.9995343894
2 5.9993194352 111.0001607742
13502.9998329494
3 11.9996562918 438.0000815125
105845.9999148634
4 19.9997929382 1210.0000491833
486009.9999485218
5 29.9998616777 2715.0000328816
1633514.9999655477
6 41.9999010832 5313.0000235249
4471760.9999753364
7 55.9999257582 9436.0000176616
10584027.9999814765
8 71.9999422283 15588.0000137460
22472675.9999855795
9 89.9999537669 24345.0000110020
43861544.9999884561
10 109.9999621635 36355.0000090048
80041554.9999905505
自然数の1からnまでのk乗和はkが2の前後では次の式が成り立つ。
Σj=1n jk = 1k+2k+3k+…+nk と L(k) = 1/{(k+1)(ln(1+1/n))k+1} の値を比較する。
n Σj^0
L(0) Σj^1 L(1) Σj^2
L(2) Σj^3 L(3)
1 1 1.442695 1
1.040684 1 1.000927 1
1.083024
2 2 2.466303 3
3.041326 5 5.000556
9 9.249666
3 3 3.476059 6
6.041495 14 14.000397 36
36.499660
4 4 4.481420 10
10.041563 30 30.000309 100
100.832990
5 5 5.484815 15 15.041598 55
55.000253 225 226.249656
6 6 6.487159 21
21.041617 91 91.000214 441
442.749655
7 7 7.488876 28 28.041630 140
140.000185 784 786.332988
8 8 8.490187 36
36.041638 204 204.000163 1296
1298.999654
9 9 9.491222 45
45.041644 285 285.000146 2025
2028.749654
Σj3 = (Σj1)2 の関係は 1/{4(ln(1+1/n))4} = [1/{2(ln(1+1/n))2}]2 に対応する。
非整数乗の場合も2の前後では近い値となる。例えば1.5乗と2.5乗の場合は
n Σj^1.5
L(1.5) Σj^2.5 L(2.5)
1 1.000000
0.999992
1.000000 1.030488
2 3.828427
3.820993
6.656854 6.731235
3 9.024580
9.011104 22.245312
22.373666
4 17.024580
17.005881 54.245312
54.436070
5 28.204919
28.181554 110.147011 110.407578
6 42.901858
42.874235 198.328642 198.665704
7 61.422117
61.390553 327.970456 328.390157
8 84.049534
84.014284 508.989792 509.497848
9 111.049534
111.010810 751.989792
752.591570
2とピタゴラス数3,4,5は連続する数であり、自然対数を交えても意外に近い関係がある。
ln 2 ≒ √(3*4)/5 22/(ln 2)5 ≒ (12+22)2 = 32+42 = 52
(n-1)!/{ln(1+1/k)}nの値を調べると、例えばk=1000の場合
n
(n-1)!/{ln(1.001)}n
1
1000.49991670830696318019
2
1001000.08333332917082968237
3
2003001000.00000832916878197806
4 6012007000999.99166666864881116768
5 24060050015000999.99999603372953037404
となり、「自然数の累乗の階差とゼータ関数」における階差の係数が現れる。
2/{ln(1+x)}3≒2/x3+3/x2+1/x や 24/{ln(1+x)}5≒24/x5+60/x4+50/x3+15/x2+1/x より
また左右対称な係数(Eulerian number)を使用した次式も成り立つ。
自然対数の-n乗に関しては、次のような式を導くことができる。
f(x)= 1/(ex-1) = B0/x+B1/1!+B2x/2!+B3x2/3!+B4x3/4!+…
の高階導関数を求めると
f(1)(x)=- ex/(ex-1)2 = -1!B0/x2+B2/(0!2)+B3x/(1!3)+B4x2/(2!4)+…
f(2)(x)= (e2x+ex)/(ex-1)3 = 2!B0/x3+B3/(0!3)+B4x/(1!4)+B5x2/(2!5)+…
f(3)(x)=-(e3x+4e2x+ex)/(ex-1)4 = -3!B0/x4+B4/(0!4)+B5x/(1!5)+B6x2/(2!6)+…
f(4)(x)= (e4x+11e3x+11e2x+ex)/(ex-1)5 = 4!B0/x5+B5/(0!5)+B6x/(1!6)+B7x2/(2!7)+…
:
B0(=1)を係数に持つ項を求め、xをln x に置き換えると
0!/(ln x)1= 1/(x-1) -B1/1!-B2(ln x)/2!-B3(ln x)2/3!-…
1!/(ln x)2= x/(x-1)2 +B2/(0!2)+B3(ln x)/(1!3)+B4(ln x)2/(2!4)+…
2!/(ln x)3=(x2+x)/(x-1)3 -B3/(0!3)-B4(ln x)/(1!4)-B5(ln x)2/(2!5)-…
3!/(ln x)4=(x3+4x2+x)/(x-1)4 +B4/(0!4)+B5(ln x)/(1!5)+B6(ln x)2/(2!6)+…
4!/(ln x)5=(x4+11x3+11x2+x)/(x-1)5 -B5/(0!5)-B6(ln x)/(1!6)-B7(ln x)2/(2!7)-…
:
一般的にgn(x)を Eulerian number を係数に持つ式
g0(x)=1, g1(x)=x, g2(x)=x2+x, g3(x)=x3+4x2+x, g4(x)=x4+11x3+11x2+x, … として
n=1,2,3,…
ln x が0に近い値の時は (n-1)!/(ln x)n≒gn-1(x)/(x-1)n であり、このページでの各種の性質を説明できる。
x=1+1/k の場合は (n-1)!/(ln(1+1/k))n≒gn-1(1+1/k)kn となる。nが3の時は
2/(ln(1+1/k))3≒g2(1+1/k)k3=k3{(1+1/k)2+(1+1/k)}=k{(k+1)2+k(k+1)}=k(k+1)(2k+1)