素数の分布(2)
distribution of prime numbers
リーマンの式R(x)とπ(x) の差は不規則に見えるが、良く調べると綺麗な曲線が浮かび上がる。
R(x)-π(x) は通常折れ線グラフとして表すことが多い。
例えばDistribution of primes tutorialやRiemannPrimeCountingFunctionのようなグラフである。その場合は不規則な線にしか見えない。しかし散布図として値を小さな円で表すと、複雑な線の中にある曲線が見えてくる。次のグラフではxが200から500の付近で上に丸い曲線が見える。ここではS(x)の誤差も参考として示している。
次の対数目盛のグラフでは、その左右にも同様の曲線があるのに気が付く。曲線の山は10nや10n√10の付近にあるため、ここでは目安としてπ^kも示している。
この曲線をより具体的に図形的な操作により求める。xが500以下のグラフを使用する。曲線の上下に出ているノイズ的な部分を次のグラフの様に除く。つまり上に出ている部分は下に移動し、下に出ている部分は上に移動する。
この操作は数値的には整数を加減算することになる。全体にわたってこの操作を行うと次のような綺麗な曲線になる。
右から線の数を調べると、6,5,4,3,2,1本と減っていることがわかる。これは素数の間隔(gap)の平均値を示していると思われる。「素数の間隔(1)」のグラフを参照。曲線は下側で反射する時に本数が増えている。
素数の規則正しいリズムが伝わってくるような曲線である。
次はx=2000 まで同じ方法で求めたグラフである。ただし全体的なバランスから線が連続するようにしている。
「素数の虹」 
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縦方向の幅は約1で一定しているようだ。下側で反射する部分ではその逆方向に分布しているのが目立つ。